利用“必要条件”，优化解题过程

马维　高明

[摘 要] 在解决问题的时候，往往用到“充要条件”（即等价转化），但在解数学题的过程中，充要条件的寻找并不简单，通过放大范围，找到使命题成立的“必要条件”，然后证明其充分性，进而使问题得到解决. 文章主要探究其在圆锥曲线、含参数不等式中的应用.

[关键词] 必要条件；放大范围；充分性

已知P={xx满足条件p}，Q={xx满足条件q}，若命题P？哿Q，则？坌x∈P，都有x∈Q，即p？圯q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 欲寻求使命题成立的充分条件，可以缩小范围；欲寻求命题成立的必要条件，可以扩大范围.通常在解数学题的过程中，往往通过等价转化，精确地找到范围，最后也不需要检验. 但是很多情况下，等价转化不易进行，不妨退而求其次，采用非等价转化的方法来解，本文主要谈“先必要再充分”（即先找到命题成立的必要条件，再验证其充分性）的运用.

利用必要条件解决圆锥曲线综合问题

圆锥曲线是高中数学的一个重难点内容，这部分内容充分体现了笛卡儿的解析几何思想，对于高中生来说，计算量大是圆锥曲线的特点. 圆锥曲线有关定值定点问题、存在性问题是难点，运算量较大，这些问题利用“必要条件”会简化计算过程.

例1（2015年四川高考理20）如图1，椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点. 当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆截得的线段长为2.

（1）求椭圆E的方程；

（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的点Q，使得=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

分析与解答：（1）易求出椭圆E的方程为+=1.

（2）解法一：看到=，会联想到角平分线的性质，

也就是说PQ是∠AQB的角平分线，相当于是点P到直线QA，QB的距离相等.

设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），直线l：y=kx+1，

联立椭圆方程消去y得（2k2+1）x2+4kx-2=0，得

x1+x2=-，x1x2=-.

直线QA：（y1-y0）x-（x1-x0）y-x0y1+x1y0=0得dP-QA=.

同理dP-QB=. 若两式相等联立，后面计算非常复杂.

因此，采取寻找必要条件的方法.

解法二：首先寻找直线的特殊位置，当直线l与x轴平行时，设直线l与橢圆相交于C，D两点，如果存在定点Q满足条件，则有==1，

即QC=QD. 所以点Q在y轴上，则可设点Q的坐标为（0，y0）.

当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，

则M（0，），N（0，-）.

由=，得=，解得y0=1或y0=2.

所以，存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q的坐标只能为（0，2）

现在已找到必要条件Q（0，2），下面证明它对任意直线均成立（即充分性）：

由法一知：+==2k.

易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为（-x2，y2）.

又kQA==k-，kQB′==k-，？摇？摇

所以kQA=kQB′，即Q，A，B′三点共线，所以===.

故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得=恒成立.

利用必要条件解决含参不等式

函数是高中数学的重要板块，其思想贯穿整个高中，函数与导数综合常常作为高考压轴题，含参不等式更是重点、热点内容. 含参不等式需要进行分类讨论，但是情况繁杂，所以常借助一些简便方法来帮助解答，此处利用“寻找必要条件、后证明充分性”的方法来解决这类问题.

例2（2011年浙江高考文21） 设函数f（x）=a2lnx-x2+ax（a>0），

？摇？摇（1）求f（x）的单调区间；

？摇？摇（2）求所有实数a，使e-1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立（e为自然对数的底数）.

分析与解答：（1）对于第一问，比较简单，一般都能顺利给出答案，即f（x）在（0，a）单调递增，在[a，+∞）单调递减.

（2）（一般解法）依题只需f（x）min≥e-1，f（x）max≤e2即可.

f′（x）=-（a>0）.

①当a≤1时，由⑴知，f（x）在[1，e]上单调递减，此时

f（x）min=f（e）=a2-e2+ae≥e-1，即a2+1+ae≥e2+e.

又由a≤1，a2+1≤e2，ae

②当1

故f（x）max=f（a）=a2lna≤e2. 又f（1）= -1+a≥e-1，即a≥e与a

③当a≥e时，f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）min=f（1）=-1+a≥e-1满足，

f（x）max=f（e）=a2-e2+ae≤e2，即a2+ae-2e2≤0.

所以（a+2e）（a-e）≤0，所以a≤e，故a=e.

综上：当a=e时，不等式e-1≤f（x）≤e2在[1，e]上恒成立.

对于第二问：

首先找到不等式成立的必要条件：e-1≤f（1）≤e2？圯e≤a≤e2+1，此时f（x）在[1，e]上单调递增，要使不等式e-1≤f（x）≤e2在[1，e]上恒成立，

只需f（1）=-1+a≥e-1，f（e）=a2-e2+ae≤e2，

解之得a=e.

评注：若直接等价转化，则情况繁杂，但采用“先必要再充分”的方法则具有明显优势. 对于这类在某个区间上恒成立的问题，通常会将区间的端点或内部某些特殊值带入不等式，会得到一个取值范围. 这样也就得到所求范围的一个必要条件，有效地避免分类讨论，优化了解题过程.

例3 设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2，

（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求实数a的值；

（2）若函数g（x）=exf（x）在[0，2]上是单调减函数，求实数a的取值范围.

解析与解答：（1）易求出a=1.

（2）g（x）在[0，2]上单调递减，即g′（x）在[0，2]上恒有g′（x）≤0.

g′（x）=ex（ax3+3ax2-3x2-6x） 一般会采取分a=0，a>0，a<0三种情况讨论的方法.

此处首先获取一个必要条件，g′（2）=e2（20a-24）≤0，即a≤.

g′（x）=ex[a（x3+3x2）-3x2-6x]≤ex（x3+3x2）-3x2-6x=xex（2x+5）（x-2）≤0，

综上：a∈-∞，.

例4（2012年浙江高考理） 设a∈R，若x>0时，均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，则a=______.

分析与解答：若设新函数，再求导、讨论，由于时间原因，可能根本无法进行.

可通过不断获取必要条件来缩小范围.

首先当x=1时，（a-2）a≤0，解得0≤a≤2.

其次当x=2时，（2a-3）（3-2a）≥0，即（2a-3）2≤0，解得a=.

大多数人的习惯是实现“等价转化”，即寻找命题成立的充要条件，而上面给出的几个例子则是通过先获取一个必要条件，然后再去证明其充分性，这种方法不落俗套，达到化繁为简、化难为易的目的. 从而避免了分类讨论，优化了解题过程.