聚焦教材习题，提升习题的教学功能

吴敏强

[摘 要] 教材课后习题是教材的重要组成部分，笔者通过对课后习题的整理、比较和分析，阐述了教材习题的功能和价值. 结合教材习题，从“找题”“变题”“挖题”三个角度，阐述课后习题在创设教学情境、提升学生思维广度与深度、体会数学的实验功能中的重要作用. 教材课后习题除了在巩固教学，提升学生解题熟练度之外，还能参与到课堂教学中，参与到教师的备课中，参与到学生对数学的研究探索中去，充分发挥教材习题的功能！

[关键词] 教材课后习题；找题；变题；挖题；教学情境；思维能力；研究与探索

教材课后习题是教材的重要组成部分，是教学过程中用于巩固教学成效的重要手段. 笔者通过对教材习题的整理、比较和分析，充分认识到教材习题的功能和价值取向. 科学地把握教材习题和日常教学的关系，把课后习题融入日常的教学中，充分挖掘教材习题的教学功能，让习题除了能作用于巩固教学之外，更能参与到教学过程中. 笔者对教材习题进行了研究和探索，以期能对充分发挥教材习题的教学功能起到一定的参考作用.

回首“找”题，聚焦最近发展区，创设教学情境

苏联心理学家、教育学家维果斯基通在谈到发展与教学的关系时，他指出：教学就应该在学生的已有经验水平的基础上，找到最利于教育發展的“最近发展区”，从这里开始，努力创造条件，给学生提供自主探索、充分思考的空间，让学生在观察、思考、分析、归纳的过程中去理解知识的形成和发展过程，进行知识的再发现、再创造，培养学生的能力，渗透正确的解决问题的方法，激发学生学习知识的信心和勇气. 而笔者通过对学生已学内容的习题的再研究，从习题中找寻学生新知识的最近发展区，利用习题创设情境和引例，引出新的知识.

案例1：新授课《圆锥曲线的统一定义》

在学生学习和掌握了椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质后，对直接法求曲线的轨迹方程已经有了初步的了解，而《圆锥曲线的统一定义》必须要把椭圆、双曲线、抛物线的定义进行糅合整理成一个统一的形式. 故笔者对之前学生所学内容的课后习题进行了整理，从中找到了能作为新授课情境的习题，并进行了改编和变式，形成了新授课的引例题组.

原题：（高中数学选修2-1习题2.2（1）第8题）设动点P到点F（1，0）的距离是到直线x=9的距离的，试判断点P的轨迹是什么图形.

改编后题组：（1）设动点P到点F（1，0）和到定直线x=9的距离的比是，试求点P的轨迹方程.

（2）设动点P到点F（1，0）和到定直线x=的距离的比是2，试求点P的轨迹方程.

（3）设动点P到点F（2，0）和到定直线x=-2的距离的比是1，试求点P的轨迹方程.

笔者改编后的题组在语言描述上具有很大的相似性，让学生在求轨迹方程的过程中感受到圆锥曲线可以通过动点到一个定点和到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的比等于某一常数的方式进行统一的定义，以此建立学生已有的知识和即将学习的知识之间的纽带，新知识的引出变得自然而不突兀，可见“旧”的习题完全可以参与到新授课的教学中，因为“旧”，所以熟悉，于是我们的新授课就不再那么的“新”了.

多元化“变”题，提升学生思维的广度和深度

教材的习题本身丰富多彩，但由于教材编排的原因，每一节后面的习题所涉及的知识点略显单一，对习题的难度有纵向的提升，但很少涉及横向知识的对比. 故需要教师对课后习题的顺序进行重新编排和改编，形成横向或纵向的题组，以提升学生思维的广度和深度.

1. “横”向变题，拓展学生思维的广度

案例2：新授课《在三棱锥中研究三角形内的四颗心》

笔者在立体几何的教学中发现有关三角形的外心、内心、重心和垂心的问题一直困扰着学生，故笔者选用了高中数学必修2习题1.2（2）第11题为基础，并进行了适当的“横”向变题，形成题组，开设公开课《在三棱锥中研究三角形内的四颗心》，解决了学生在这方面的困扰.

原题：（高中数学必修2习题1.2（2）第11题）在三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC内的射影O是△ABC的外心，求证：PA=PB=PC.

解法：由O是△ABC的外心，故OA=OB=OC，所以△POA，△POB，△POC全等，故PA=PB=PC.

“横”向变题：（1）在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC内的射影O是△ABC的内心，求证：点P到三角形三条边AB，AC，BC的距离相等.

解法：过点P分别作三角形三条边AB，AC，BC的垂线PD，PE，PF，由O是△ABC的内心，故OD=OE=OF，所以△POD，△POE，△POF全等，故结论得证.

（2）在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC内的射影O是△ABC的垂心，求证PA⊥BC.

解法：由点P在平面ABC内的射影O是△ABC的垂心，可得OA⊥BC，又由PO⊥BC，可得BC⊥平面PAO，故PA⊥BC.

笔者通过对原题的横向扩展而形成的题组是对三棱锥顶点在平面ABC内的射影的位置的系统研究：教材的习题仅仅是对外心的研究，而笔者通过对三角形外心、内心和垂心的研究，更改条件，完善了课本习题，让学生系统地解决了此类问题.

可见“横”向变题可以从原题的背景出发，向前后左右拓展，找到与原题相似又具有对比性的知识点，更改条件或问题而形成题目，使得整个题组具有明显的知识广度. 学生在整个题组的训练中借用原题的解决方案，类比解决同类问题，进而让学生形成一个系统的知识体系.

2. “纵”向变题，拓展学生思维的深度

案例3：椭圆的焦点三角形问题

原题：（高中数学选修2-1习题2.5第8题）设P（x，y）是椭圆+=1（a>b>0）上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求PF1·PF2的最大值和最小值.

解法1：设P（x0，y0），利用统一定义可得PF1=a+ex0，PF2=a-ex0，故PF1·PF2=a2-e2x，由x0∈[-a，a]可求得PF1·PF2的最大值和最小值.

解法2：利用统一定义可得PF1=ed1，PF2=ed2（其中d1，d2分别是点P到左、右准线的距离）. 又d1+d2=，故PF1·PF2=e2d1-d1，由d1∈-a，+a可求得其最大值和最小值.

解法3：利用基本不等式PF1·PF2≤（当且仅当PF1=PF2时等号成立）可求得最大值.

“纵”向变题：（1）设P（x，y）是椭圆+=1（a>b>0）上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求∠F1PF2的最大值.

解法：可利用余弦定理以及原题解法3的基本不等式得到∠F1PF2的最大值，难度较低.

（2）设P（x，y）是椭圆+=1（a>b>0）上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=θ，求S△F1PF2.

解法：可利用面积公式S=PF1·PF2sinθ结合变题（1）解答中的余弦定理得到焦点三角形面积公式S=b2tan. 有变题（1）的铺垫，难度適中.

（3）设P（x，y）是椭圆+=1（a>b>0）上一点，A1，A2是椭圆的两个顶点，求∠A1PA2的最大值.

解法：笔者把焦点改为顶点，虽然结论仍然是当点P在椭圆短轴端点时∠A1PA2最大，但解法完全不同. 可过点P作x轴的垂线PH，则tan∠A1PH=，tan∠A2PH=，故由tan∠A1PA2=tan（∠A1PH+∠A2PH）可求得其最大值，难度较大.

笔者提供的案例原题来自于《圆锥曲线的统一定义》的课后习题，教材编者是用此题巩固圆锥曲线的统一定义，展示统一定义在求焦半径问题时的优越性. 而笔者发现此题的背景是椭圆的焦点三角形，故借用此题作了一系列的“纵”向变题.

可见“纵”向变题可以不改变原题的背景，从一个简单的知识点入手，向下深入，更改条件或问题而形成题目，使得整个题组具有明显的难度梯度. 学生在整个题组的训练中既能巩固原题的知识点，同时又能在不同难度条件和问题下对该知识点有新的发现. 学生在知识的再发现、再创造的过程中，培养能力，渗透正确的解决问题的方法，激发学习知识的信心和勇气.

大胆“挖”题，发挥教材习题的实践探究功能

教材的课后习题与阅读材料有许多是结合生活、科技现象等设置的问题情境类习题，并且有部分习题已经从单纯的训练题发展到手动实践问题，如到图书馆或互联网查阅资料进行交流，小论文及调查报告等. 笔者认为，这些课后的实践类问题对提高学生学习兴趣，提升数学修养等方面的确有着重要作用！而事实上，我们有的教师为了节省时间，常要求学生“忽略无关信息，抓住主题”，这样无疑会极大地消弱习题的教学功能，降低习题知识载体的内容. 为此，教师应该在不影响教学的情况下，重视教材习题中那些具有丰富情境资料及动手实践要求的习题，激发学生学习兴趣，培养学生数学实际应用方面的意识和能力.

案例4：折纸中的圆锥曲线

教材高中数学选修2-1在椭圆、双曲线、抛物线的习题中均分散着一个操作题，用折纸来制作圆锥曲线，非常有意思，教师不应该忽略这种有意思的操作题. 笔者把分散着的三个操作题“串”起来，让学生动手制作，并进行数学化的研究与创造.

操作题1：（高中数学选修2-1习题2.2（1）第11题）准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点F，将纸片折起，使圆周过点F，然后将纸片展开，就得到一条折痕（为了看清楚，可把直线l画出来）. 这样继续折下去，得到若干折痕. 观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？

操作题2：（高中数学选修2-1 习题2.3（1）第11题）在纸上画一个圆O，在圆外任取一定点F，将纸片折起，使圆周过点F，然后将纸片展开，就得到一条折痕l（为了看清楚，可把直线l画出来）. 这样继续折下去，得到若干折痕. 观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？

操作题3：（高中数学选修2-1习题2.4第14题）将一张长方形纸片ABCD的一只角斜折，使点D总是落在对边AB上，然后展开纸片，得到一条折痕l（为了看清楚，可把直线l画出来）. 这样继续折下去，得到若干折痕. 观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？

在学生完成折纸，感受折纸中的数学艺术后，笔者引导学生对折纸模型进行数学化，由学生完成数学问题的编制，学生成功编制的问题如下：

问题1：已知圆O：（x-2）2+y2=36，定点F（-2，0），在圆周上任取一点M，连接MF，作线段MF的中垂线l，当点M取遍圆O上所有点后，则所有的中垂线围成的曲线方程为________.

问题2：已知圆O：（x-4）2+y2=36，定点F（-4，0），在圆周上任取一点M，连接MF，作线段MF的中垂线l，当点M取遍圆O上所有点后，则所有的中垂线围成的曲线方程为________.

可见，课后的操作题与应用题绝不是教师和学生的累赘与麻烦，而是在教师深入研究后能用于课堂教学的利器，也是学生拓展思维、大胆创新的机会. 既能对课内知识复习巩固，又能联系实际，激发学生的学习兴趣，提高学生的创新能力.

笔者从“找题”“变题”“挖题”三个方面总结了课后习题的教学功能，可见，习题不仅仅是学生复习的工具，也是教师在课堂教学中可以充分使用的教学工具，在教师与学生的共同努力下，课后习题一定会成为教师展示个性教学的利器！