发现法及其在高中数学教学中应用研究

许翔　许京锋

[摘 要] 发现法对于学生数学课堂学习参与的情绪、学习兴趣、好奇心的激发具备特有的力量，不仅如此，学生学习的独立性、主动质疑以及数学应用能力的提升因为发现法的有效实施都能获得有效的改观.

[关键词] 高中数学；发现法；应用研究；学习策略

很多学者和专家把发现法称为探索法或者研究法，也有的称其为现代启发法，不管其称谓如何，发现法的精髓都在于学生在老师的预设的课题、资料研究中进行独立探究并因此自行发现、掌握研究对象所蕴含的原理与理论.

学习策略

发现法在课堂学习中大体有以下策略可以应用：

1. 设置问题情境

学生在课堂学习时应围绕学习目标、依据学生认知结构的最近发展进行学习情境的设计，并力争情境更为生动而有趣. 由浅入深、由表及里的一系列问题或者活动内容是学生学习在进行问题情境学习中惯常运用的形式，旨在引导学生在问题刺激下进行主动的探索，使得学生的思维在不断发现与探索中逐步深入. 学习情境能够应用的素材很多，一些概念的实例、学生熟悉的自然或实验现象、数学知识原理、数学判定案例、语言表达与交流的场景等等都是学生学习时能够运用的素材.

2. 学习主体的探究活动

学生在探究中的思维与操作是主体探究活动所指的具体内容，学生进行独立的活动与操作并在实际操作中进行探索与思考是发现法所必须具备的，因此学生在进行探究与操作活动时应保障学生有充裕的时间与空间. 高中阶段的学生在内部思维层面上进行活动的能力还是比较欠缺的，因此，学生在亲自试验与计算等实践的基础上进行交流和讨论，使得学生在不同心理体验的感受中不断激发探究的欲望. 学生交流与讨论时教师的激励性语言也是重要的方面，学生思维的积极参与度、课堂氛围的融洽度往往会因为教师的鼓舞而掀起高潮，一些意想不到的怪问题也可能因此产生，这正是学生学习时的良好契机，是学生发挥巨大潜能的最佳时刻，学生的主体探究活动就会更加异彩纷呈.

3. 多向合作交流

发现法提倡学生的独立活动，个体之间的合作和交流并不会因此而显得多余. 学生的智力与非智力水平、知识结构在成长过程中自然会显现出一定的水平落差，由此带来的思维、认知情绪以及学习态度等方面也会有所不同，因此，学生自身知识结构欠缺的修补与完善必然得依赖他们相互之间的合作和交流. 学生运用独立探索中所得的感受与体验进行讨论与交流往往使得他们在活动研究中兴趣倍增，对问题的深入理解更是非同一般，学生的集体观念与团结协作精神、师生之间的心理差距以及情感效应等也会获得较大的改观.

发现法的实际应用案例——正弦定理教学片段

1. 教材分析

正弦定理的应用价值极为广泛，解直角三角形内容的拓展延伸内容在三角形的计算问题、生产生活的实际问题中都有广泛的应用. 那么，正弦定理的研究意义究竟如何？究竟是怎样发现正弦定理的呢？其证明方法又是如何发现的呢？有其他方法证明吗？学生所关心的这些问题在教材中并没有具体的答案.

正弦定理的第一课时应该是对正弦定理的引入与证明，属于定理学习的课型，因此，正弦定理的学习的有效性不仅能使原有的知识得到巩固和复习，还能使学生在知识掌握的基础上对联系、发展等辩证观点产生深刻的体验与感受，学生在定理的探究中还会领略数学发现与创造的历程，并因此激发出自身提出问题、解决问题的意识与习惯.

2. 学情分析

直角三角形的内容是学生在初中阶段就接触过的，高中必修内容中又涵盖了三角函数的基础知识与平面向量的内容，这所有的内容所形成的知识框架对于直角三角形、三角函数以及平面向量等问题的解决具备积极的意义，正弦定理在关于任意三角形边角关系的定理中都是极为重要的，有关于定理的探究及其运用是《课程标准》一直重视并强调的，学生因此在思想上更加重视正弦定理的学习与探究.

3. 正弦定理导入实录

（1）设置情境

投影展示：如图1是一条两岸平行的河流，河宽d=1 km. 码头A处囤积着很多重要的物资，上游特大洪水暴发，A处物资和留守人员须尽快转移至对岸B或C处，B，C之间相距1 km，转移方案怎样设计最为合理？已知水流速度、船于静水中的速度分别为3 km/h、5 km/h.

数学起源于生活、运用于生活在这个问题中明显展露了出来，学生的思想意识也因此得到了一定的培养，正弦定理的研究也因为情境问题的图形与解题思路的展现得到了最好的铺垫.

（2）提出问题

同学们设身处地地将问题考虑周全，小组讨论后将问题汇总给组长：

①船开向B，C中的哪一处更合理？

②船从A开向B，C两处各需多久？

③船从A开向B，C两处各有多少千米？

④船从A开向B，C两处时的速度各是多少？

⑤船从A开向B，C两处应保持什么方向才能保证沿途路线是直线？

小组交流是学生进行研究学习和情感交流最好的平台，学生的合作能力往往在小组交流中能得到更好的锻炼，因学生交流与感受而产生的诸多问题使得学生的探究欲望和兴趣倍增，学生学习的主体性因此得到彰显，而最终学生讨论的问题又是小组讨论产生，具有广泛的代表性、典型性，对于问题的解决具有重要的作用.

有哪位同学来试试，表述一下上述问题究竟应该如何解决？同学们还记得之前学过的平行四边形法则吗？平行四边形法则能够运用于此题的探究吗？请尝试作圖，并明确已知、求问以及问题解决方法.

将问题转化为如图2、图3所示的两个数学模型，如此一来，学生对问题的理解以及数学意识都得到了有意义的发展. 同时新的问题也随之而来，这两个问题的本质是什么？如何求解呢？

图2、图3中三角形的两边与其中一边的对角是题中已经明确的，另一边的对角以及第三边是我们所要解决的. 图2中△ADE为直角三角形，图3中△ADE则不是，利用直角三角形中边角关系求解不可行.

图3中出现的情形可否转化一下，最终通过直角三角形来解决问题呢？

问题的出现使得学生的化归思想意识得到培养，后续正弦定理的研究与证明正弦定理也因此得到了较好的铺垫，整节课的学习也就基本完成了.

学生学会学习与探究并因此促进学生能力全面发展是高中新课改的主要任务. 由认知主体进行知识的主动建构正是建构主义观点的精髓. 从学习的角度来讲，知识是学生在一定情境中运用已有经验并结合他人合作进行主动建构而获得的，学生是学习的中心这一观点一直是建构主义模式所强调的，学生进行知识意义的构建要在教师的帮助和引导下完成.