“三角形的三边关系”教学研究报告

一、问题

“三角形任意两边的和大于第三边”是人教版四年级下册三角形单元的一个内容。这样一个看似简单的内容，在教学实践中，很多教师都觉得不容易教。首先，“三角形任意两边的和大于第三边”，这是一个高度抽象概括的结论，孩子理解起来是有难度的。其次，如何证明这一结论？采用什么样的方式证明？许多教师都尝试过让孩子们通过动手操作来发现：提供一些素材，让孩子们摆一摆或是剪一剪。但孩子们很少会主动拿两边之和与第三边进行比较，所以最后结论的得出比较牵强。而且动手操作时会有误差，不管选择什么材料，当讨论两边之和等于第三边时能不能围成三角形，孩子们会特别纠结，教学时不好处理。如果直接运用“两点之间线段最短”这一公理来证明，很快就能得出结论，可是我们要教给孩子的仅仅是这样的一个结论吗？这节课到底要教什么？

带着对这些问题的思考，我们在深入研读教材的基础上，把这节课的目标确定为：发现并理解三角形的三边关系；经历研究问题的一般过程，积累活动经验，培养学生的空间想象能力。在教学目标的指导下，我们设计了教学，进行了以下的实践。

二、实践

（一）引发冲突，提出问题

1.从“围”开始

师：知道我们今天要学什么吗？（生：三角形）对，三角形是常见的平面图形，老師这儿有三根纸条，（在黑板上贴出三根纸条，其中两根蓝色的，一根红色的）谁能上来围一个三角形？

生1、生2很快围成之后，教师在黑板上贴出三根纸条，其中两根蓝色纸条的长度分别是6cm和9cm，红色纸条的长度是18cm。生3上台围了很久，最后围成的三角形如图1所示。

2.明确要求，规范围法

师：（指着图1）三角形是有了，不过围成这样你们满意吗？（学生纷纷摇头）

教师边说要求：三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，边用课件演示（如图2）。

师：那这三根纸条，能不能按这样的要求围成三角形呢？

学生两人一组动手操作后发现围不成。

小结：不是随随便便的三根纸条就能围成三角形的。

（二）举例分析，问题具体化

师：什么样的三根纸条可以围成三角形呢？

生4：三根一样长的。

师：这是你的经验。我们看看刚才的这几根纸条，（课件出示图3）为什么围不成呢？（生：红色的纸条太长，蓝色的纸条太短）要想围成怎么办？（生：把红色纸条变短，或者把蓝色纸条变长）

教师根据学生的回答演示课件，验证学生的想法。

师：当然，要围一个三角形很简单，但是如果每一根都这样变长或变短，咱们就不容易发现其中的规律。为了研究方便，我们就固定这两根蓝色纸条不变，把这根红色纸条变短，行吗？这根红色纸条变成多短就可以呢？（学生开始猜测各种长度）刚刚有人说9厘米可以，谁来试一试？（学生上台成功围成三角形）那是不是只有换成9厘米长的纸条就能围成呢？

生5：不是，8厘米的也行。

生6：10厘米的也可以。

生7：15厘米以下的都可以。

师：哎呀，你已经在考虑它的范围了。聪明的孩子就会这样想，肯定不止这一个可以。那这根红色纸条的长度在什么范围内就可以围成三角形呢？

（三）讨论方法，动手解决问题

师：要想确认这个范围，我们该怎么办？（生：拿更多的纸条来试一试）跟我想的一样，可问题是，我们该试哪些长度呢？（学生回答各种长度，范围在1～17厘米）怎么没有人要试19厘米？

生8：刚刚我们试过18厘米都长了，19厘米肯定也不行。所以只需试比18厘米短的。

师：（板贴1～17厘米的磁贴）为了研究方便，咱们先从整厘米的长度入手，把这些长度一一试出来，是不是就能找到范围了？要试多少次？（生：17次）那咱们分工合作吧，每组试几根，最后把所有人的实验结果汇总，这个范围是不是就找着了？

学生两人一组动手操作，教师巡视。学生按照顺序依次汇报，在汇报3厘米和15厘米的时候争论不休。但是在教师的引导下找到了范围：比3厘米短的肯定不行，比15厘米长的也不行，在这之间的长度是可以的。

（四）深入探讨，究其本质

师：大家对这个范围是不是都认可了？谁还有疑问？

生9：3和15到底行不行？

生10：为什么会刚好在这个范围呢？

师：这个问题提得真好！（板书：为什么）为了助大家一臂之力，王老师带来了一个神奇的三角形，（课件出示图4）别看它长得普通，它可是会变的。刚刚我们试过12厘米是能围成的，当这条红色的边长12厘米的时候，围成的三角形就长这样。我如果使劲拉这条边，它会变长。（操作课件，红色线段的长度依次变为13、13.19、14、14.28，如图5、图6）这个三角形的样子好像在变。（生：对，变得越来越矮，越来越扁了）这三个角好像都有变化。（生：这个三角形变得越来越平了）

师：（红色线段的长度到14.95时停止拖动，如图7）14.95也是可以的，不过跟之前比已经大变样了。刚刚有同学说15厘米可以，想象一下，如果拉长到15厘米，会是什么样？

生11：平了。

生12：变成一条线段了。

生13：蓝色的和红色的重合了。

师：是不是跟你们想象的一样呢？（课件演示红色线段的长度到15厘米，如图8）15厘米可以围成三角形吗？（生：不可以）想一想：如果再长一点点呢？会是什么样？endprint

生：会往下；会回去。（课件演示红色线段的长度到15.01厘米，如图9）

生：哎呀，断掉了！

师：为什么会这样啊？

生14：因为这根红色线段太长了，这两个端点连不上，所以就掉下来了。

师：那如果继续拉长能连上吗？

生15：不能，更加连不上了，把红色的线段变短才可以。

师：好，那我们往回拉，看看什么时候就能连上了。（生：15厘米）（课件演示拉回到15厘米）对，这个时候就连上了，那什么时候又会出现三角形呢？

生16：14.99。

生17：只要比15小就行了。

师：（继续往回拉，到14.99厘米）是的，这个时候三角形就出现了。继续变短（如图10），这个三角形怎么变成这样了？（继续变短，如图11）快看，它的三个角又在变呢！（生：这个三角形要倒了）想一想，到什么时候三角形又没了？

生：2.99；3；2。

师：（继续变短至3厘米，如图12）当红色线段长3厘米的时候，3厘米的边和6厘米的边连成一条线段，和9厘米的边重合了，看样子3厘米也是围不成的。如果继续变短呢？（生：又会断掉了）

小结：当两条边分别是6厘米和9厘米的时候，我们找到第三条边的范围，必须大于3厘米而小于15厘米。

师：为什么刚好就在这个范围呢？现在你明白了吗？

生18：因为到了15厘米就重合成一条线段，三角形就没有了。

生19：3厘米也不行。

生20：比15厘米长、比3厘米短的都不行。

师：看来，关于这个三角形的奥秘你们已经知道了，如果换一个呢？（课件出示另一个三角形，两条蓝色边长分别是7厘米和11厘米）如果是这样的两条边，那第三条边的范围应该是多少？（生：比4厘米大、比18厘米小）为什么？

生21：因为到了18厘米就会重合成一条线段。

生22：18其实是这两条边长的和。

师：那4呢？

生23：4其实就是这两条边长的差。（课件再次演示三角形的变化）

师：孩子们，看完了这两个三角形，你有什么发现？

生：给定两条边，第三条边的长比另外两条边的差要大，比另外两条边的和要小。

（五）归纳总结，由特殊到一般

师：咱们回到黑板上（给三角形的三条边标记：a，b，c）想象一下，如果这个三角形也能拉动，我拉动c，（手势做出拉扯状）要使三角形还在，最长要怎么样？（生：c要比a与b的和小）为什么？

生：如果c等于a与b的和，就会重合成一条线段，而大于a与b的和，就会断掉。

师：所以c要小于a+b，其实也就是a+b大于c。（板书：a+b>c）要是我现在不拉动c，而是拉动a，要使三角形还在，a应该怎么样？

生：b+c>a。（板书：b+c>a）

师：如果拉动b呢？

生：a+c>b。（板书：a+c>b）

师：今天我们通过研究得到，当三条线段同时满足这三个条件的时候，就能围成三角形。事实上，每一个三角形都是由满足这样条件的三条线段围成的，也就是说每一个三角形的三条边都存在着这样的关系。你能试着用一句话概括三角形三条边的关系吗？

生：三角形的一条边不能超过另外两条边的和。

师：一条边指的是哪条？

生：每一条，任意一条。

小结：三角形的任意一条边都要小于两边之和。

师：祝贺你们，通过自己的努力发现了三角形三条边的关系。咱们看看书上是怎么说的。（课件出示：三角形的任意两边之和大于第三边）虽然表达不一样，但意思是一样的，请大家读两遍。

学生齐读，教师板书课题：三角形的三边关系。

三、讨论

1.对课堂的思考

对于三角形三边关系的教学，让学生动手操作拼一拼、围一围是司空见惯的做法。究其原因，一是教材编排使然，教材上就是要求学生用小棒或纸条来围三角形。二是老师们大多持有这样的观点：要想培养空间观念，肯定要有动手操作。于是，热热闹闹动手围的操作型课堂就诞生了。老师会给孩子们提供几组素材，有的能围成，有的围不成，还有的是学生坚持能围成，老师则拼命解释此乃誤差使然。紧接着，教师提出问题：“从这几组数据中，你有什么发现？”说实话，学生是无法从这样的动手操作中发现三角形三边关系的。于是，老师只能请学生写一写算式，比一比两边之和与第三边有什么关系，强行得出所谓的结论。这样教学的效果总是差强人意。

基于对以往这一内容教学案例的分析，我们有了诸多思考，并大胆地进行了教学尝试。对于这一课的设计，主要想突显以下两点。

一是建立动态表象，培养空间观念。“图形与几何”的教学有一个很重要的目标，即培养学生的空间想象能力。值得注意的是，并不是简单地按老师要求动手拼一拼、摆一摆、围一围，空间观念就能得到发展。我们认为，动手操作一定要与分析、比较、想象等思维活动结合起来，才可能帮助孩子形成良好的空间观念。

在本节课中，我们引导孩子提出了一个大问题：什么样的三根纸条能围成三角形？就拿一组围不成的材料来说，怎么调整长度才能围成三角形？调整的办法有多种，如果只选定调整其中最长的一根，那么多长就能围成三角形？在问题的引导下，孩子们结合动手操作的感性经验进行分析思考并不断想象，然后尝试操作验证。只有在积极的思维状态下，孩子们的动手操作才能真正入眼、入脑，印象深刻，从而为想象提供表象支撑。而在想象之后再验证，有利于进一步修正自己的空间观念。初步探寻到可能的范围之后，对于两边之和等于第三边时，究竟能不能围成三角形，利用动手操作肯定无法达到最佳效果。于是，我们借助动画演示，引导孩子结合操作经验进行观察、想象。尤其是在逐渐逼近的演示中，教师多次停下来引导孩子想象可能发生的情形，然后拉动课件中的三角形对他们的想象进行验证，帮助孩子在脑海中形成动态的表象。经历了这样的过程，学生的空间想象能力得到了培养。

二是经历研究问题的一般过程，积累基本活动经验。在本课中，问题的产生是十分自然的。看似简单的用三根纸条围三角形，不经意就能围成，但第三位上台的同学却怎么也围不成三角形。这是怎么回事呢？哦，原来并不是随随便便三根纸条就能围成三角形的！问题就自然产生了：什么样的三根纸条能围成三角形呢？显然，这个问题太大，学生无从着手进行研究。“我们看看刚才的这几根纸条，为什么围不成？怎么样才能围成？”因为有了具体的例子，问题立即落了地，孩子们有话可讲了，也有事可做了。长的边可以变短，短的边可以变长，办法都是可行的。可是，如果都变，不利于研究发现规律，怎么办？教师引发了孩子的积极思考，又适时给出合理的建议：我们就固定两根短的不变，把最长的这根变短点，看看它变多短就能围成三角形。研究一步步往下推进，并不是由教师简单生硬地出示操作要求，而是整个方案都是和孩子们一起通过讨论得出，包括实验的范围、分工合作、汇总结果等，都是很自然地从孩子们的思维深处流淌出来。在这润物无声的过程中，孩子们亲历了解决问题的全过程。当他们发现原来在一个固定的范围内都可以围成，超出范围便围不成时，孩子们喜形于色，非常有成就感。最后，借助课件的动画演示，孩子们笃定地找到了最长边的范围，终于发现了三角形三边之间的关系。至此，孩子们经历了一个完整的探究过程：发现并提出问题———作出假设———制定计划———实践操作———得到结论，积累了一定的活动经验。

2.提出新问题

我们的研究固然体现了我们的深入思考，但因水平有限，难免存在问题。比如：我们认为动手操作与课件动画演示相结合，能帮助学生建立动态表象，有效地培养空间观念，但这个有效性可否检测出来？可以通过什么样的途径或方式加以检测？还有，我们所认为的帮助孩子积累了基本活动经验，这经验却又看不见、摸不着，如何得以体现？这些都值得我们进一步进行研究。endprint