单元再建构：在知识结构中教与学——以“等腰三角形”单元教学实践为例

■施俊进

一、问题的提出

在当前的初中数学教学现状中，教师更多的是先教单课，而后再利用单元复习等，来对前面的学习过程进行总结、归纳、提升，走的是“先分后总”的归纳之路，行的是“先树木，后森林”的逻辑程序。这种教学的弊端是显而易见的——学生难以把多个“单体”的“知识点”有机地联系起来，每一个知识点都是一个零碎的“原子”，呈碎片化状态，很不利于识记、理解、运用，也难以让学生较好地“带得走”。

建构主义认为学习的本质是个体积极主动的自主建构过程，学习的内容不仅包括非结构性知识，而且包括结构性知识（结构性知识是乔纳森划分的学习类型之一，指习得概念或命题的多样性而又相互关联的网络）。而处于某种联系中的知识往往能让学习者实现一种“情境记忆”，它实际上处于一种框架式的或者联系式的记忆之中，记住一点就能带出许多，这样的学习就是真正的“活”的学习。

二、在结构中教与学

“结构决定功能，结构决定效率”“结构一变，活水自然来”。对数学教材进行“再建构”，它所引发的教学功能是不可小觑的。管理学大师熊彼特将“生产要素的重新组合”称为“建立新的生产函数”，还视之为创新的根本。“单元再建构”就是相关的“生产要素的重新组合”。“万变不离其宗”，还是要在“生产要素的重新组合”上发力，在“单元再建构”上做文章。

例如，学习“等腰三角形”（北师大版《义务教育教科书·数学》八年级上册）时，按常规教学，是将等腰三角形的内容分四课时进行（依次为等腰三角形的性质、性质的运用、等边三角形和等腰三角形的判定），最后复习（综合应用）。这是先让学生学习“部分”，而后到“整体”的方法。这是根据北师大版“螺旋式”上升的特点，逐步将学生的推理能力由合情推理上升为演绎推理。

尤其是“等腰三角形”第一课时，先证明“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”，再根据全等三角形的定义得到“全等三角形的对应边相等、对应角相等”，然后再研究等腰三角形性质的证明。

显然，这样的做法是“教教材”，而不是“用教材教”。首先，全等三角形的判定方法“AAS”和性质放在此处，明显将全等三角形的知识体系割裂开来，不利于学生在整体上掌握全等三角形；其次，在研究等腰三角形时，花一定的时间具体研究全等三角形的判定和性质，必然会冲淡主题（等腰三角形）；第三，就知识而言，学生在小学就已知道等腰三角形的定义及相关概念，在七年级时，已经通过折纸的方式，知道了等腰三角形的性质和等边三角形的性质；第四，就能力而言，学生已初步掌握证明的基本方法并且具有初步的演绎推理能力（证明了平行线中的相关结论），而“等腰三角形”这一节的证明都是基本要求，难度不大。

2017年12月25日，在兰州市实验区李庾南“自学·议论·引导”教学法实验工作推进会中，笔者执教了“等腰三角形”一课。考虑到“等腰三角形的知识结构”，即“研究几何图形的基本套路”（定义、表示、性质和判定），笔者采用了反常规的教学方法，首先帮助学生建立知识体系框架，即形成“整体”知识，后续再让学生站在知识“整体”的高度，自主而深入地研究知识整体的各个“局部”，根据以下教学目标重新组织了教学内容，取得与会专家的高度评价。

教学目标：（1）在利用实验操作获得对等腰三角形性质的感性认识的基础上，通过推理论证培养学生的科学精神，提高推理论证能力；（2）经历等腰三角形的性质和判定的证明与探索过程，丰富学习感受，激发学习兴趣。

显然，教学重点是等腰三角形的性质、判定的证明和数学化（用符号表示）；教学难点是将实验操作获得的感性认识进行理性概括。

具体教学过程（简略）是这样的：

环节一 起始阶段

师：（1）认识这两个几何图形吧？它们有什么区别？（2）什么样的三角形叫作等腰三角形？如何用符号表示？

追问：你知道“有两边相等”是什么意思吗？“有两边相等”与“只有两边相等”有何不同？

意图：采用全班学习的形式，通过与一般三角形对比，不仅揭示等腰（边）三角形的图形特征，而且渗透三角形的分类，明确研究的对象（等腰三角形和等边三角形），为进一步研究等边三角形的性质打好伏笔。

环节二 探究阶段

师：等腰三角形作为三角形，具有一般三角形的一切性质。具有哪些性质？因为等腰三角形的边有特殊的数量关系（相等），那么大家已经知道等腰三角形有哪些特殊的性质了吧？

追问：大家是怎么知道等腰三角形的这些特殊性质的？

生1（展示并讲解）：将等腰三角形纸片对折后，折痕两侧部分完全重合，两个底角也完全重合，说明等腰三角形是轴对称图形，而且等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；顶角、底边在折痕两侧部分也完全重合，说明折痕既是顶角平分线，又是底边上的中线；而折痕与底边组成的两个角也完全重合，就是相等，又因为它们拼成了一个平角，所以都是直角，那么折痕也是底边上的高，所以三线合一。

师：折纸是实验操作。通过折纸，我们发现了这些命题。那么这些命题到底成立不成立呢？是不是所有的等腰三角形的两个底角都相等？你是如何判断将等腰三角形对折后两边能完全重合的？实验操作得到的结果是不是一定成立呢？

生（全体）：不一定成立。要证明！

师：实验操作得到的命题不一定成立，我们必须通过推理的方法，从“两腰相等”这个条件出发，有理有据推出这些结论。

意图：通过个人学习（回顾“知道了什么”，提取头脑中的知识链，即回顾由实验得到的等腰三角形的性质）、全班学习（交流“怎么知道的”，即交流、概括实验与推理的关系），让学生的注意力迅速高度集中，明确研究的具体内容，提高学生自主获取、自主建构、自我发展、自我超越的热情和能力。

环节三 推理论证阶段

师：如何证明“等腰三角形是轴对称图形”“等边对等角”和“三线合一”？这些命题的题设和结论分别是什么？请结合图形，说出“已知”和“求证”分别是什么？（学生在独立思考后，再小组交流，最后全班交流）

生2：作顶角平分线AD，则可证明△ABD≌△ACD（SAS），说明将等腰三角形纸片沿顶角平分线AD对折后，折痕两侧部分完全重合，所以等腰三角形是轴对称图形；同时由全等三角形的性质可知∠B=∠C，BD=CD，∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=∠ADC=90°，从而AD既是底边上的中线，又是底边上的高。

师：你们是怎么想到这种方法的？

生3：我们在折纸时发现那折痕就是等腰三角形的顶角平分线。

师：折纸（实验操作）不仅让我们发现了命题，而且为我们提供了证明思路。还有什么方法可以得到以上的结论？

生4：作底边上的高AD，则可证明△ABD≌△ACD（HL）……

生5：作底边上的中线AD，则可证明△ABD≌△ACD（SSS）……

说明：构造全等三角形，再利用全等三角形的性质证明了等腰三角形的这些性质。这为我们以后证明边和角相等提供了新的理论依据。

意图：采用先个人学习，再小组学习，最后全班学习的形式，学生在个人学习的基础上，自由地发表见解，交流讨论，拓展探究，按照“如何证明轴对称性质→须证被某直线分成的两三角形全等→怎样构造这个三角形→全等的理由→推理过程”的思路进行推理论证，获得了等腰三角形性质的知识结构，提升了学生自主学习、主动学习和自觉学习的深度和广度。同时让学生明确实验操作只是发现了命题（或提供了证明的思路），但命题是否正确必须要根据条件有理有据地推出结论，培养了学生科学的学习态度和科学精神。

环节四 归纳总结阶段

师：如何用符号语言表示等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）？

生6：△ABC中，∵AB=AC，∴∠C=∠B。

师：就是将上面的“已知”与“求证”分别改为“∵”和“∴”，以后可直接使用，不必再构造全等三角形并且证明三角形全等了。通过以上的证明，我们发现命题“三线合一”包含了哪几个命题？也就是说，AD具备哪些性质就必定具有其他性质？请大家用符号表示。（学生独立思考后，全班交流。）

生7：△ABC中，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC于D，BD=DC。这表明等腰三角形的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高。

生8：△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴BD=DC，AD平分∠BAC。这表明等腰三角形的底边上的高既是底边上的中线，又是顶角平分线。

生9：△ABC中，∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC于D，AD平分∠BAC。这表明等腰三角形的底边上的中线既是底边上的高，又是顶角平分线。

意图：通过全班交流（适时小组学习），归纳总结等腰三角形的性质（研究性质定理的题设和结论以及符号表达，即将性质数学化），尤其将“三线合一”性质细化为三个命题，进一步深化对性质的理解，为正确运用性质奠定基础。

环节五 完善对等腰三角形性质的认识阶段

师：三边都相等的三角形是等边三角形，那么等边三角形有什么性质呢？

生10：和等腰三角形一样，等边三角形也是轴对称图形，两底角也相等，也就有“三线合一”性。

生11：等边三角形的三个内角都相等，并且都是等于60°。

师：你是怎么得到的？

生 12：∵AB=AC，∴∠C=∠B；∵AC=CB，∴∠A=∠B，∴∠A=∠B=∠C，又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°。

师：大家能具体说下等边三角形“三线合一”性质吗？（学生独立思考后，再全班交流）

生13：等边三角形的任一边上的高、中线和该角平分线相互重合。

生14：等边三角形的任一角的平分线和该角对边上的高、中线相互重合。

师：“等边对等角”是指在同一个三角形中，由边相等可以转化为角相等，由此你想到了什么？

生15：我想到了“等角对等边”。

师：你是逆向思考。“等角对等边”具体是什么意思？如何证明？

（众生静思）

师：要判定一个三角形是等腰三角形，只能根据等腰三角形的定义，这就是说：已知∠B=∠C，证明△ABC的两边相等（即AB=AC）。如何证明AB=AC呢？

生16：构造全等三角形，如图，作辅助线AD。

师：要证明△ABD≌△ACD，已经具备什么条件，还要增加什么条件？

（学生先独立思考，再小组交流，最后全班交流）

生17：要证明△ABD≌△ACD，已经具备一边AD和一角∠C=∠B，若增加条件：AD平分∠BAC，根据“AAS”可证，从而得AB=AC。

生18：若AD是BC边上的高，根据“AAS”可证，从而得AB=AC。

生19：若AD是BC边上的中线，却不能证明△ABD≌△ACD，因为这是“SSA”，不能判定三角形全等。

师：“SSA”不能判断三角形全等，在这里是可以证明△ABD≌△ACD的，但需要证明三次三角形全等，留给大家课后思考。通过猜想、证明，我们得到等腰三角形的判定定理“有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）”，请大家用符号语言表示。（生答：△ABC中，∵∠C=∠B，∴AB=AC）

师：刚才我们由“等边对等角”逆向思考，想到了“等角对等边”，说明了在同一个三角形中，相等的边和相等的角可以相互转化。由“等边对等角”，你还能想到什么呢？

生20：我想到“大边对大角”。

……

师：是否正确？若正确，如何证明？留给大家课后思考。

意图：采用个人学习、全班学习的方式，引导学生回到等边三角形的定义，说出等边三角形的性质，完善了对等腰三角形的性质的认识。通过“由等边对等角，你想到了什么？”引导学生积极思考，不仅得到同一个三角形中，“等边=等角”，拓展了知识结构，而且思维跳跃到延学内容“大边=大角”。

环节六 反思总结阶段

引导学生围绕问题思考：（1）我们是如何研究等腰三角形的？（2）在研究的过程中，体会到哪些重要的学习经验或学习方法？

师生共同总结：（1）通过实验操作只是得到命题或提供命题的证明思路。为此，用推理的方法，由条件有理有据地推出结论；（2）一般研究几何图形的内容为定义、表示法、性质和判定；（3）等腰三角形的“等边对等角”和“等角对等边”就是将同一个三角形中边的相等关系与角的相等关系相互转化。

环节七 课外作业

1.阅读教材，完成教材随堂练习。

2.在△ABC中，AB＞AC，求证：∠C＞∠B。

3.在△ABC中，∠B=∠C，AD是BC边上的中线。求证：AB=AC。

附：板书设计。

三、对“单元再建构”的几点思考与说明

1.“学材”，简单地说就是学习材料，或者说是学习资源。

这些“学材”都是在一段时间内相对稳定的、静态的、可视的学习材料。实际上“学材”还包含在某段时间内会发生变化的、动态的、隐蔽的学习材料。如学生的学习经验、教师的教学情感、教学经验，学生的学习态度、师生关系等。课堂教学中如何用好那些会发生变化的、动态的、隐蔽的学习材料（尤其是学生的学习经验），对“学生所学的知识能够实现结构化”起着重要的作用。

2.“单元再建构”是“学材再建构”的基本表现形式，就是根据数学知识发生的规律及其内在联系、学生学习的基础与可达到的高度以及思维发展能力，将学材分为单元或知识模块，分课时实施，以从整体上达成教学要求，优化思维品质，习得学习方法，陶冶生命情操。

这样的“单元再建构”（将研究几何图形的内容“定义、表示法、性质和判定”作为一个单元）的本质就是将相关知识点纳入一个结构或框架中，使习得的知识结构化、能力结构化。（结构性能力是指一种个体或组织的综合能力、整合能力，并且是结构性的、体系性的综合能力）当然，每个单元是更大结构中的点或小截面。显然，单元再建构不只是教师的行为，学生更应成为单元再建构的主体。这样，才能直抵数学核心素养。（整体建构知识之间的关系，发展数学学力）

3.学材、学生决定学法，学材、学法影响生成。

把等腰三角形的“定义、表示法、性质和判定”作为一个单元（结构）进行教学（“单元再建构”），是因为学生已经知晓这些知识内容。只不过如何实现从实验走向推理论证，同时通过推理论证培养学生的科学精神，提高推理论证的能力（学生已经具备演绎推理的基本能力），这是“建构”的目的。显然，通过“单元再建构”，保证了教学或课程资源的丰富；同时根据学习内容和学生在学习过程中的实际反应，有机、灵活、交替地运用个人学习、小组学习、全班学习的形式（可以直接进行全班学习交流，也可以个人学习后直接进行全班学习交流）来实现自主学习和合作学习。

根据学习内容，灵活而交替地运用“个人学习、小组学习、全班学习”的形式，保证了教学形式的活泼、教学结构的灵活、教学氛围的民主和活跃；同时保证了“生成是学生自己的事”。考虑到“等边=等角”是反映同一个三角形中边角之间相等的转化关系的，在客观世界中“相等”与“不相等”关系是普遍存在的，有时“相等”与“不等”之间既对立又可以相互转化，再加上“等边=等角”是证明“大边=大角”的理论依据，安排延学“大边=大角”，既作为“等边对等角”的应用，又是对学生渗透“对立统一”“矛盾转化”等辩证唯物主义观点的教育，同时完善了等腰三角形的知识结构。为此，通过“由等边对等角，你想到了什么？”引导学生积极思考，不仅得到同一个三角形中“等边=等角”，拓展了知识结构，而且思维跳跃到延学内容“大边=大角”。这样重在生成知识，生成技能，生成思想方法，生成智慧，生成情感，生成学力，它们最终都指向于“学力有提升”。

“单元再建构”就是把割裂的、碎片化的知识有效地连接起来，把问题解决的关键或问题的实质揭示出来，使学生不仅知其然，而且知其所以然，知道知识之间的联系，学生生成的不仅是知识和技能，而且还有方法和能力，更有情感和素养。“单元再建构”就是“在结构之中教知识”，或者说“让学生所学的知识能够实现结构化”，这显然是数学教学涵育学生核心素养的重要方向和主要途径。这就像是一串串的葡萄，因为有葡萄藤在起串联作用，拎起来就不是一颗一颗的葡萄，而是一串串的、可以轻松“带得走”的葡萄。

本文系江苏省教育科学“十三五”初中专项重点资助课题“初中数学‘学材再建构’研究”（课题编号：E-a/2016/06）研究成果之一。

［1］李庾南.“自学·议论·引导”教学法［M］.北京：人民教育出版社，2013（7）.

［2］李庾南，陈育彬.中学数学新课程教学设计30例［M］.北京：人民教育出版社，2007（6）.

［3］施俊进，徐小建.例谈初中数学“学材再建构”实施策略和原则［J］.数学教学通讯（中旬），2017（4）：5-8.

［4］施俊进.“学程单”：优化“学”的智慧追求［J］.江苏教育（中学教学），2017（2）：51-53.

［5］施俊进.初中数学“学材再建构”研究初探［J］.学校管理，2016（6）：38-39.

［6］施俊进.“单元再建构”：章节起始课教学的实施智慧——《不等式及其解集》教学实践与反思［J］.教育研究与评论，2017（11）：36-41.

［7］施俊进.注重知识本质 追求适合的教学深度——“相交线（一）”的教学实践与反思[J].中国数学教育，2015（7-8）：52-57.