品味概率统计中的交汇问题

■江苏省南京市高淳区淳辉高级中学 孙长寿

概率统计是历年高考的热点内容之一,考查方式多样,难度中等,通过对基础知识的重新组合、变式和拓展,从而加工为立意高、情境新、设问巧,并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。概率统计自身以及与其他知识的交汇创新成为一道亮丽的风景。

交汇1——系统抽样与等差数列的交汇

例1 (安徽省“皖南八校”2 0 1 7届高三第二次联考)某校为了解10 0 0名高一新生的身体成长状况,用系统抽样法(按等距的规则)抽取4 0名同学进行检查,将学生从1～10 0 0进行编号,现已知第1 8组抽取的号码为4 4 3,则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( )。

A.1 6 B.1 7 C.1 8 D.1 9

解析:系统抽样是等距离抽样用等差数列的通项公式确定或判断个体。公差为,所以a1=1 8。故选C。

品味:若样本容量为n,总体的个体数为N,用这三种方法抽样时,每个个体被抽到的概率都是,分层抽样是按比例抽样,系统抽样是等距离抽样,在第一段内用简单随机抽样的方法确定的个体编号为a1,按系统抽样,则抽取样本an满足通项公式

交汇2——几何概型与平面区域的交汇

例2 在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件的概率,p2为事件的概率,p3为事件的概率,则( )。

图1

解析:由二元变量x,y∈[0,1]可构建平面区域,全部事件构成边长为1的正方形。事件“x表示图1的中阴影部分(面积为S1),事件表示图2中阴影部分(面积为S2),事件表示图3中的阴影部分(面积为S3),由图知,阴影部分的面积从小到大依次是S2＜S3＜S1,根据几何概型公式可得p2＜p3＜p1。故选B。

图2

品味:二元变量的几何概型常常化归为面积比,对于两个区域A,B,且A⊂B,点P落在区域B内每一点上都是等可能的,当B是个平面图形时,点P落在区域A内的概率与面积有关,一般选择面积作为区域的测度,其概率计算公式P(A)=

图3

交汇3——互斥事件及独立事件的交汇

例3 (重庆八中2 0 1 7届高三上学期二调)如图4所示,小波从A街区开始向右走,在每个十字路口都会遇到红绿灯,要是遇到绿灯则小波继续往前走,遇到红灯就往回走,假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的,且绿灯亮的概率都是,红灯亮的概率都是。

图4

(1)求小波遇到4次红绿灯后,处于D街区的概率。

(2)若小波一共遇到了3次红绿灯,设此时小波所处的街区与A街区相距的街道数为ξ(例如,小波若处在A街区,则相距0个街道;若处在D,E街区,则都是相距2个街道),求ξ的分布列和数学期望。

解析:(1)设小波遇到4次红绿灯之后处于D街区为事件A,则事件A共有3个基本事件,即4次遇到的红绿灯情况分别为{红红绿绿,绿红红绿,绿绿红红},故P(A)

(2)理解随机变量的意义合理分类,ξ可能的取值为0,1,2,3。

故ξ的分布列为表1。

表1

品味:互斥事件A,B满足概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B),而独立事件A,B满足概率乘法公式P(A B)=P(A)P(B)。读懂所求概率事件包含的含义,利用分类讨论思想将事件分解为几个互斥的情况来求概率。一个复杂的随机事件,往往可以拆分成若干个互斥事件的和,而每个互斥事件又可以拆分为若干个相互独立事件的积。

交汇4——随机变量的分布列、均值与古典概型的交汇

例4 (2 0 1 8年辽宁省辽南协作校一模)教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛,竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签的方式决定出场顺序,通过预赛,选拔出甲,乙等五支队伍参加决赛。

(1)求决赛中甲,乙两支队伍恰好排在前两位的概率。

(2)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X,求X的分布列和数学期望。

解析:(1)可用古典概型进行解决,设Ω为“五支队伍的比赛顺序”,则事件A为“甲乙排在前两位”,则,所以

(2)一共五支队伍,所以甲乙之间间隔的队伍数构成随机变量X可取的值为0,1,2,3,同样适用于古典概型。可先将甲,乙占上位置,然后再解决“甲乙”与其他三支队伍间的顺序问题,X可取的值为0,1,2,3,P(X=

所以X的分布列为表2。

表2

品味:以排列组合和概率统计知识为工具,利用互斥事件分类,利用相互独立事件分步,利用对立事件简化求概率,进而确定随机变量的概率、分布列和期望,凸显概率统计自身的网络交互。

交汇5——统计图表、抽样方法与超几何分布的交汇

例5 (2 0 1 7年第一次全国大联考新课标Ⅲ卷)某市场调研机构对在“双十一”购物的n名年龄在[2 0,7 0]岁的消费者进行了年龄段和性别分布的调查,其部分结果统计如表3。

表3

(1)若按年龄用分层抽样的方法抽取8 4个人,其中在[4 0,7 0]内抽取了3 6人,求m的值。

(2)在(1)的条件下,用分层抽样的方法在[3 0,4 0)岁的消费者中抽取一个容量为8的样本,将该样本看成一个总体,从中任取3人,记X表示抽取女性消费者的人数,求随机变量X的分布列和数学期望。

(2)用分层抽样的方法在[3 0,4 0)岁中抽取一个容量为8的样本,设抽取男性消费者的人数为x,所以,解得x=3。所以抽取男性消费者3人,女性消费者5人,所以X的取值是0,1,2,3,则

所以随机变量X的分布列为表4。

表4

品味:反馈图形信息,由抽样比确定元素,构建超几何模型求分布列和期望,超几何分布就是在理解随机变量的意义下,把元素自然分成2组,利用组合数和古典概型的概率公式得到分布列的一个通项公式,首先,利用组合数求基本事件的总数n;其次,利用组合数求所求概率事件中含有多少个基本事件m;最后,利用古典概型的概率公式表示。