“三位数乘法”中学生系统错误及其教学策略分析——基于中国—加拿大互惠学习项目姊妹学校案例研究

解 书，马云鹏，Douglas McDougall

（1.东北师范大学教育学部，吉林 长春 130024；2.多伦多大学安大略教育学院，加拿大多伦多）

深度学习是提升关键能力的着力点。学习是教学的核心元素，是课程改革最应改变的方面，教育和课程改革的核心问题是改变对学习的观念，只有掌握学习本质才能生发出持续动力进行课程改革，怎样让学习者“明白/理解”和“投入”是学习的关键，学习必须建基于理解，教学也应以“理解”为目标。[1]教师需要深刻掌握学生在理解知识、解决问题时的认知过程与特征，关注学生学习过程，提升学生综合素养与关键能力。

教师的学科教学知识影响教学成效。学科教学知识（Pedagogical Content Knowledge,以下简称PCK）是指教师在特定教学情境里，基于对学生和特定学科内容的综合理解，选择教学策略表征，将学科知识转化为学生理解的知识过程中所使用的知识。[2]教师的教学表现及成效均与PCK有关，拥有良好PCK的教师能弹性运用恰当的教学策略和表征将学科知识的意义传送给学生并使其理解，促进学生学习。

学生学习错误分析是教师重要的专业能力之一。教师最大的能力之一是能从学生内在错误的不足证据中对学生的错误进行建模，学生知识的详细模型，包括他们的错误，是进行成功纠正的前提。[3]教师要深入了解学生真实的思维活动，高度重视对学习错误的纠正。[4]对学生学习错误分析有助于在教学设计中预估学生的错误并诊断，寻找恰当教学策略，更好地理解个体学习并预防（或解决）学习错误，提高学习效率。

一、问题提出

1904年起，关于数学学科学习错误研究主要从社会—文化视角、认知心理学视角、数学教学视角和学生学习的视角展开，多集中在特定领域（加减法、变量、方程、等式、分数、小数等），基于特定内容描述学生学习困难和错误表现，概况总结归纳错误的类型或表现。关于学生计算错误的研究多采用大样本纸笔测试，分析错误类型和原因。

Cox基于加法的错误研究将学习错误分成系统错误、随机错误、粗心错误。[5]其中后两者主要源于急躁、思考的少、太多记忆导致提取障碍等，更多是没办法说出原因或给出证据。系统错误(Systematic Errors)是指由于使用错误的算法或规则所产生的错误，会反复出现且能说明内在原因的错误。该类型错误主要由学生的迷思概念或者学习困难所引起，对其研究更能深入了解学生数学学习的本质、理解与过程。

现有研究较少基于特定内容深入了解学生系统错误，分析其教学表征和PCK。“数的运算”是小学数学核心内容之一，是中国和加拿大两国课程内容相同较多的领域，“三位数乘两位数”是整数乘法系列中最后一次乘法笔算学习，该内容的学习情况能折射出关于整数乘法学习的各个环节，更具分析价值。因此，本研究通过“三位数乘两位数”解决如下问题：

1.学生在学习“三位数乘法”中系统错误的表现类型、特征及原因；

2.教师对学生学习错误的知识储备、识别及分析；

3.教师基于学生学习错误的教学表征和PCK水平。

二、研究方法

通过方便取样选取中国大陆E小学四年级T-m教师（女，教龄13年），F小学四年级T-g教师（男，教龄10年）、T-s教师（女，教龄7年），加拿大G小学五年级T-k教师（女，教龄14年），以及任课班级的全部学生。通过如下方法搜集数据。

1.访谈法。课前访谈搜集教师对授课内容本质、重难点、学生的理解、常见错误的预设及原因分析，以及针对错误所采用的教学表征。课后访谈搜集预设与真实教学中的差别及原因等问题。专家访谈评价任课教师在学科内容、学生知识、学习错误分析、教学表征等方面的适切度。通过出声思维（think aloud）搜集学生学习错误的思考过程。

2.课堂观察法。旨在搜集教师教学设计的落实情况，对学习错误的觉知、态度和教学表征；搜集学生的学习错误。

3.文本搜集法。搜集作业、练习、测试卷等，筛选学生学习错误具体表现；搜集教师的教学设计，分析其教学思路。

通过文本数据归因分类学生学习错误，统计错误表现分布。通过专家维度（数学教育专家E-m、小学数学教研员E-w）评价分析教师教学，根据学科教学知识水平评价量表[6]判断教师PCK水平。

三、结果分析

中国大陆“三位数乘两位数”在四年级上学期教授（2学时）。要求学生根据规律法则正确运算、理解算理、寻求简洁合理运算途径外，还能应用该知识解决生活中的问题，并能对结果的实际意义做出解释、能在具体情境下选择合适方法进行估算。

加拿大安大略省1—8年级数学课程标准中要求：到五年级末学生能使用多种策略解决两位数乘两位数问题，能总结出算法特别是标准算法，能在解决问题时使用估算来判断和检验结果；到六年级末学生能计算四位数乘两位数。现行教材中在六年级上册中出现了三位数乘两位数的内容，但课程标准并未做明确要求，教师可在授课时弹性处理。本研究中T-k教师在五年级末教授，使用3—5次课完成（每次课约2小时）。

（一）加拿大学生学习错误比率明显高于中国大陆学生

本研究基于作业、练习中的错误统计，通过教师、专家、学生的访谈，计算题目中出现错误的频次和比例并分析原因。统计发现，加拿大学生学习错误率比中国大陆学生高24.7%（参见表1）。

表1 三位数乘两位数中加学生学习错误统计总表

图1 “三位数乘两位数”三种典型错误类型分布比例图

（二）中加学生的系统错误呈现三种类型且分布比例相似

在中加学生学习“三位数乘两位数”时均呈现三种典型错误类型：计算过程错误、数位错误、算理迷思错误。错误类型分布比例参见图1。

中加两国各类型错误比例分布较为相似，错误均集中在计算过程错误：首先表现在乘法乘错、加法加错、进位错误；其次是数位错误，学生没有明确“十位的数字与上面乘，得出结果的意义”而导致学生在数位上出现迷思。加拿大学生算理迷思错误仅5%，在课堂观察中发现，T-k教师非常重视算理的讲授，且用相当长时间温习乘法算理；通过对“未完成”数据分析发现，其中部分是由于学生没有理解乘法算理“个位与上面的数依次乘得出结果，然后十位与上面的数依次乘得出结果，将两次结果相加”（E-m），导致不知如何计算而搁置。具体样例及原因分析如表2。

分析发现，T-g教师班级学生的错误多为算理迷思和拆分错误；T-s教师班级学生的错误多为计算过程的错误；T-m教师班级学生的错误多为算理迷思和计算错误，且比重较大，数位错误中与“0”相关的错误较多，这与教师在教学中未充分帮助学生理解数位中十位“0”和个位“0”的意义有关。T-k教师多为计算过程错误，与T-s教师班级结果相似，且学生未完成的比例较大。而学习错误分布比例与教师教学侧重点关系很大。如，T-g教师在算理讲授中未很好地给学生搭建“脚手架”，将拆分法与竖式建立起联系，T-s教师重算理讲授多于算法，T-m教师在学生未充分理解算理和熟悉算法时关注高难题目练习，导致错误比例较高。T-k教师较注重算法讲授和常见错误“预警”，给学生充分自主选择权。

（三）中加教师能够预设并分析学习错误且有一定觉知和行动

1.教师对学生的错误有一定预设及理解分析

教师对学生的学习有一定的理解与经验积累。中加两国教师均能够准确地进行学情分析，对学生的先在知识和能力的把握处于“熟练”水平，中国大陆教师在访谈中指出学生已有掌握表内乘法、两位数乘两位数、三位数乘一位数，学习过列表、拆分等多种计算方法；加拿大T-k教师指出学生已知道个位数乘法计算以及计算过程中进位问题。T-m教师对于本课要求的算法多样化中预设到学生多数会采用熟悉的拆分方法，认为“列表法运用得特别少，学生可能想不起来”。T-s、T-k教师“能对学生错误类型进行较有条理的分类及归因”；T-m教师对学生存在的常见错误列举不够丰富，T-g在学习错误方面预设不够全面。尽管他们均有多年教学经验，但在课后的访谈中，教师均提到实际教学中仍存在未预测到的学习错误，并能对此做出相应的反思和分析。

表2 三种典型错误类型分布样例及原因分析

2.教师对学习错误的觉知能力不够全面，个别错误专业判断失误

教师们能预设到学生呈现的大部分错误，且在教学过程中能够觉知，但依然不够全面。中国大陆教师受制于时空、人力限制无法针对性地解决每一个学生的问题，教师在巡查学生时将个别错误简单归为马虎、计算错误，未进一步详细帮其分析是计算的哪个环节出现错误及原因，只简单告之“算错了，再看看”或“认真点”。在对学习错误统计分析中发现T-m教师的学生错误呈现接续性特点，相同人的相同类型错误反复出现，可见教师没有觉知学生错误的“接续性特点”并予以及时关注和解决。T-s教师较为强调计算书写规范，“没有按照规定作答，体现数学的简洁”（T-s），均判为错误；而研究中发现加拿大T-k教学中末尾有“0”的计算过程中并没有特别强调需要省略，T-k教师反思“设计的应用题没想到给学生制造了困难或错误”，说明学习任务设计有待完善。总之，在教学中教师应让学生掌握常规的计算方法，但一味强调“通用”“常见”的方法“不利于学生创造性思维和知识理解，导致机械记忆”（E-m）。

（四）教师能基于对学习错误的理解预设并呈现适切的教学表征

1.教师能基于对学习错误的理解预设教学表征

教师们对上述学习错误的预设与分析均有预案。如T-s教师对于学生“乘法数乘错，加法数加错”的错误，可让学生“观察算的那层是什么意思，他仔细看会发现只用第一个乘数去乘了第二个乘数的个位，他没有接着计算，这时回归算理，把第一个乘数圈起来，给他指两个箭头，第一个箭头指向个位，第二个箭头指向十位。若乘数不是一位时，不能一次就算完，若是两位数，要算两次，若是三位，要算三次，这是一种技能的强化”。T-m教师课前设计练习两位数乘以两位数帮助学生温习算理，为新知识学习做铺垫，强调在课堂教学时重点讲算理，降低学生的错误。T-k教师设计50个乘法题目练习（多为13以下的两位数乘一位数），帮助学生巩固乘法的计算能力。四位教师设计了相同的问题解决教学策略，即“T-P-S”（Think-Pair-Share），先独立思考，再与同伴分享，在交流中学习他人做法，让出现错误的同学发现问题并通过比较分析查找原因、更正错误，鼓励学生自己解决问题，解决不了则在组间或有由全班集体解决。

2.教师能基于对学习错误的分析采取适切的教学策略

课堂教学中，中国大陆三位教师均能基于学生现状开展教学，教学环节相似，即在简单复习后利用教材中情境，让学生独立探索解决三位数乘两位数的问题；教师通常不会马上纠正在该环节出现错误的学生，而让学生在小组讨论时自省、互助纠正，针对出现的错误在小组汇报时教师提出问题或分析阐述。四位教师均重视讲解算理，在与学生共同示范三位乘两位数时，反复强调“数位”的意义。但在对待学生错误方面，中国大陆教师针对出现错误的学生采取提示或互相质疑的方式，通过不断地发问直至澄清结果；加拿大教师注重维护学生的“自尊心”和“自信心”，较少公开讨论针对个体学生的错误。

3.教师的PCK水平介于“基本”和“熟练”之间

就PCK总体水平而言，T-s处于“熟练”水平，T-m、T-g、T-k处于“基本”和“熟练”之间。其中T-s、T-m、T-k教师在基于教学内容、重难点的策略和挑战学生的迷思概念、学习错误、学习困难等的策略表现“熟练”，说明教师能够按照预设的内容开展教学。四位教师常使用“谁听懂了？”“你是怎么想的？”的追问来掌握学生的学习进度。T-s教师认为，“在教学中不提倡告诉学生解题思路，主张学生在观察、质疑和讨论中自己发现问题所在和解题思路，让学生自己去体会。学生在讨论中进行矛盾激化，当学生都解决不了时，我才会进行导向，让学生明白其中道理。这样的问题，我会处理得比较细致。”T-m、T-g、T-k教师基于学生的反馈所做出的教学决策及调试稍显欠缺，处于“基本”水平，且T-g教师课后反思不够充分，影响其PCK整体水平。

四、研究结论

1.两国教师关于学生学习的教学信念有所差别，影响学生的学习成效

加拿大教师重视自由民主，学生可根据自身能力完成作业，看重学生在学习中的“快乐”“自信”，尽可能避免过度学习和高难度题目带来的挫败感，教学中极少直接指出学习错误并立即纠正和巩固练习。中国T-g和T-s教师发现学生的错误时常采取全体关注“引以为戒”的教学方式进行纠错和巩固练习。教学理念的差别可能是导致学习错误比率差别的原因之一。

2.中加学生在“三位数乘两位数”学习中呈现三类系统错误且分布比例相近

该领域学习中学生呈现三类典型的系统错误，由高到低依次为计算过程错误、数位错误、算理迷思错误，分布比例相似，说明在本研究中学习错误类型分布具有一定规律。计算过程错误比例较大，应予以关注，熟练表内乘法及进位时规范标记，减少或避免错误。此外，“数位”也是学习难点。

3.教师对学习错误有一定预设和觉知行动，但并未意识其功能价值

研究显示，教师们在学习错误类型或具体表现方面有一定经验积累，能分析原因、预设教学表征。教学中能有意识地观察并识别学习错误、解析原因，较多采用引导式系列提问，或学生间质疑、提问，帮助其澄清错误，得出正确答案。但面对学习错误，教师并未意识到其功能价值，未有意识地去分析错误规律、调试教学，如各班级均呈现集中的错误类型，但教师未搜集或分析学生在学习该内容时存在的问题，处理问题时多针对个人，而非典型群体，个别学生的接续性错误未得到应有的关注与纠正。

4.教师对学科知识本质和学习错误的理解影响其教学实施

教师们对学科知识的理解均处于“熟练”水平，能够把握学科知识本质。但实际教学中，由于教师对学生学习（如学习困难、水平、错误等）的理解存在差别，导致其教学表征水平有所差别。对于学习错误理解较为全面且能够基于预设和学生实际反应做出适时教学决策的教师其教学实施较为顺利且有质量（如T-s），对于学习错误预设不足（如T-g）、对于学生对特定任务表现预估不完全（如T-k），基于学生的反馈而做出的教学表征及其调试欠缺（如T-m、T-g、T-k），均影响其PCK整体水平和在教学实施过程中的行为表现。可见，教师对学科知识本质和学习错误的理解直接影响其教学质量和学生的学习成效。

5.教材在中加教学中发挥的作用有所差别

教材是教师教学和学生学习的基本素材，两国在教材使用上差别较大。中国大陆教学围绕特定版本教科书展开，教材编排直接影响教与学。如本课中“估算”环节的设计影响了教师对教学的理解与教学时间比例分配；“列表法”影响学生对数位的理解，导致学生机械列表，对数字所在数位产生迷思，产生错误。因此教师未引导学生理解教材中典型例子含义，或对内容进行取舍，会影响学生对特定内容的理解，甚至引发学习错误。

加拿大教科书虽版本较多，但教师教学多基于各省“课程标准”及“学习期望”开发课程资源、制定学习目标，较少依赖教材，因此教师的教学能力直接影响课程质量与学习成效。

五、研究启示

1.学生的学习错误是研究教师PCK的新视角

目前国际上关于PCK的研究较为丰富，通过案例探讨不同类型（新手、经验、专家）教师的PCK现状与特征，借助工具间接探讨特征和水平，但较少从学习错误的视域研究教师的PCK。教师的学科知识是稳定的，PCK却越来越复杂，特别是有关学生的知识，PCK构架也从简单的线性呈现方式转变为复杂的网状构架，且知识架构中心围绕学生，对学生的理解可促进PCK及其他相关知识的整合[7]，影响教学表征[8]。学习错误又是学生知识中的重要方面，受其先在知识、迷思概念、学习困难等影响。教师对学习错误的理解能体现其对学科知识本质与学生知识的把握，反映PCK水平。只有深入理解学生的学习才能实现优质教学，因此需要教师成为反思性实践者，以学生如何学习的知识为基础，发展教师改进教学的触觉。[9]

2.将学生的学习错误作为课程资源促进“少而深”式教学

学生的学习错误不能简单地解释为“突发事件”，很多错误也不能机械地归因于无意识、粗心等，一些错误是规律的、经常性的、持续性的、技术性的，可归因于特定的学习困难经历或一些外在干扰。[10]因此，要重视学习错误的教学价值，通过分析、探索其特点、规律和原因，实施“基于证据”的教学设计和差异化教学，将错误作为课程设计依据、从反面思考学与教，做到少量主题、较广覆盖、注重深度的“少而深”式教学，着眼于学生对所学内容的整体理解，促进学生的知识建构和方法的迁移，避免无效或低效的重复训练。

3.发挥学习错误的教学价值促进深度学习

当下的学习已不再满足于掌握知识和技能、得出正确答案，更要关注学生学习本身和思维能力的培养（如美国NCTM、英国课程标准等均对此做出要求）。利用错误促进师生间“数学地交流”，围绕具有挑战性的学习内容或主题，通过精心设计问题情境，引发学生认知冲突，深度探究，掌握数学的核心知识，经历有意义的学习过程，把握所学内容的数学本质，体验所学内容的思维方法，促进学生高阶思维的发展，在解决问题的过程中，促进学生关键能力与核心素养的发展，提高学生的综合素养。

4.跨文化的比较研究促进教学上的相互理解与互惠学习

文化与教育制度永远是一个不可分割的整体，研究者需要了解大量的教育背景信息，摒弃偏见，在跨文化的比较研究中并非比较优劣长短，更多的是理解、学习和借鉴，促进自我反思、提升教学研究与实践。▲

[1][9]黄显华,霍秉坤,徐慧璇.现代学习与教学论[M].北京：人民教育出版社,2014.

[2]解书,马云鹏.国外学科教学知识内涵研究的分析与思考[J].外国教育研究,2013（6）：59-68.

[3]Brown J S,Burton R R.Diagnostic Models for Procedural Bugs in Basic Mathematics[J].Cognitive Science,1978（2）：155-192.

[4]郑毓信,梁贯成.认知科学,建构主义与数学学习[M].上海：上海教育出版社,1998.

[5]Cox L S.Systematic errors in the four vertical algorithms in normal and handicapped populations[J].Journal for Research in Mathematics Education,1975，6（4）：202-220.

[6][8]解书.小学数学教师学科教学知识的结构及特征分析[D].长春：东北师范大学,2013.

[7]Van Driel J H,Verloop N,de Vos W.Developing science teachers'pedagogical content knowledge[J].Journal of Research in Science Teaching,1998,35（6）：673-695.

[10]Radatz H.Students’errors in the mathematical learning process：a survey[J].For the Learning of Mathematics,1980，1（1）：18.