板状钢筋混凝土结构燃气爆炸荷载安全评估变分法分析*

徐赐敏,姚文娟,房霆宸

(1.上海大学土木工程系，上海 200444;2.上海宝冶工程技术有限公司，上海 200941;3.上海建筑工集团有限公司,上海 200080)

据燃气网资料，2015年4月国内燃气爆炸有51起，每一起爆炸，就是一栋楼受灾。建筑物爆炸破坏形态各异，损坏程度与建筑物的结构形式、易损度、建造年代、围护结构形式、起爆点位置、燃气混合浓度等有着密切的关系。为了定量评定灾后的结构安全，精确地建立以爆炸时间为自变量，荷载大小为变量的曲线函数，再用该荷载函数对建筑结构进行动态时程分析，得出结构的动态响应，是最精确的方法。计算结构的应力分布计算工作量很大，通常需用到多种专业软件，如用LS-DYNA3D软件进行爆炸荷载的数值模拟，再用ABAQUS软件对局部构件显式非线性动态分析。上述计算过程复杂，在工程评估中不利于快速评估。

本文中运用变分法的极值问题方法，通过变分法中的伽辽金法从虚位移原理出发，反推出燃气爆炸时结构受到的伪静荷载，再用该伪静荷载对结构进行静力分析，提出了快速评估灾后建筑物爆炸核心区结构安全的方法。

1 变分法对薄板弯曲挠度微分方程的近似解

变分法是个泛函的极值问题。为求解微分方程的定解，可构造相应的泛函，使求泛函的极值与求解微分方程的定解等价[1]。根据文献[2]，薄板的厚度t与板面的最小尺寸b的比值约在(1/80～1/100)≤t/b≤(1/5～1/8)范围内，可简化为薄板结构，并将平分板厚度t的平面称为板的中面，垂直板面的荷载将使板弯曲，中面内各点的横向位移称为挠度。薄板弯曲问题常用变分法，常用的有里兹法、伽辽金法[3-5]。伽辽金法可以根据虚位移原理求得近似解，从而避免不知道总势能的难度。伽辽金法从虚位移原理出发推出平衡系统的力在虚位移上所做的功等于零。

对薄板进行伽辽金法方程推导[4],则有：

∬D(4w)wmdxdy=∬qwmdxdy

(1)

式中：D4w和q为平衡力系，δw为虚位移，为拉普拉斯微分算子，由变分δCm的任意和不为零，可得关于系数Cm的线性方程组。

2 钢筋混凝土楼板燃气爆炸实例

2.1 工程概况

2012年7月，西安市某小区1号楼1307室发生燃气爆炸，造成人员伤亡。爆炸同时对该幢房屋结构造成了破坏，业主为了解爆炸后房屋的安全情况，要求做安全性鉴定。经过对受损严重的1号楼1307室厨房客厅进行检测，发现下楼板混凝土已出现较大裂缝，楼板下底面已成锅底状，测出板跨中最大挠度值达133 mm，已超出混凝土设计和验收规范要求[3]，需进行结构加固。周边框架梁变形，未超出设计规范值，为得出该梁的钢筋应力情况，需耦合出爆炸时的静荷载，再计算梁上钢筋应力，为该楼的其他结构构件安全评估提供荷载依据，同时也为以后的民用建筑中燃气使用场所抗连续倒塌设计提供实践数据。

该1号楼建筑面积约为34 000 m2，建筑平面尺寸约62.2 m×23.0 m，建筑层数为地上24层、地下1层，建筑高度80.10 m，地下室埋置深度6.60 m。建筑结构形式为框架剪力墙结构，地震分组为第一组，建筑物抗震设防烈度为8度，场地Ⅱ类别，设计基本地震加速度值为 0.2g。爆炸楼层处在第13层，层高2.9 m，爆炸房间开窗洞(3.6 m×1.8 m)，3个门洞(0.9 m×2.1 m)，爆炸冲击波将房间所有围护结构粉碎性推倒。爆炸源所在位置及损坏范围平面图[5]和结构布置图分别如图1～2所示。爆炸后人工琢去混凝土后的板内钢筋网如图3所示，体现为钢筋混凝土板适筋弯曲破坏后的钢筋。爆炸后室内情况如图4～5所示。

2.2 楼板挠度方程建立及求解

将问题简化，使之符合薄板定义[3]。因板四边梁Z向抗弯刚度远大于板刚度，板计算模型简化为四边固结，建立如图6～7所示的坐标系简图。以板形心为坐标系原点O(0, 0, 0)。该楼板[5]厚度t1=120 mm，短边长a1=4 100 mm，长边长b1=4 900 mm，t/b=1/34，(2a=4.1 m，2b=4.9 m，t/2=60 mm)，板底配筋∅10 mm×200 mm双向布置。现场测量挠度wmax=133 mm，求均布荷载q0。

该板的边界条件为:

设挠度表达式为：

(2)

上述表达式能满足位移和内力边界条件。考虑到高阶小量，仅取前一个系数c1,即

w=c1w1=c1(x2-a2)2(y2-b2)2

(3)

于是有：

wm=w1=(x2-a2)2(y2-b2)2

(4)

利用拉普拉斯微分算子，有：

(5)

卷积层的运算仅仅是卷积核在输入特征图上的滑动，所以不管输入特征图多大都不影响卷积层的参数数量，只是对于不同大小的特征图卷积得到不同大小的输出特征图而已，即卷积层的参数和输入大小无关。池化层没有参数，通过固定大小的滑动窗口下采样输入特征图。双线性插值是一种图像缩放中常用的插值算法，可以通过双线性插值放大输入特征图的尺寸。可以通过池化层和双线性插值的实现实现输入尺度可变的网络结构。

(6)

积分后求出c1，代入式(3)，即得：

(7)

薄板形心处即坐标原点。当x=0,y=0时，薄板的最大挠度近似解为:

(8)

整理后可得板面均布荷载q0(包括板自重):

(9)

q0=αDwmax

(10)

式中：q0为板面均布荷载,α为板平面几何参数,D为板抗弯刚度,wmax为板几何中心的最大挠度。式(10)即为挠度最大值与荷载之间的简洁函数表达式。

2.3 燃气爆炸荷载计算

在文献[6]中,HRB400钢筋在快速加载情况下，只有屈服强度和极限强度的提高，而塑性和弹性模量基本保持不变，钢筋本构关系采用静载作用时的本构关系。混凝土[3]C30，计算弹性模量E时，取一根直径10 mm的钢筋及截面200 mm×120 mm的混凝土为计算单位。其中钢筋面积As=78.5 mm2，模量Es=200 GPa,钢筋泊松比μs=0.3，混凝土弹性模量Ec=30.0 GPa,泊松比μc=0.2。

将上述数据代入式(9)，得该板在最大挠度为133 mm时燃气爆炸荷载作用为：

得到该板在最大挠度为133 mm时燃气爆炸荷载作用为1.193 3 MPa，含板自重作用4.5 kPa，则燃气爆炸净荷载为1.188 8 MPa。板自重q自重=25×0.12+20×0.075=4.5 kPa。

上述荷载虽然很大，但爆炸荷载作用的时间很短，约0.2 s[7]，使该楼1307室的楼板的底部钢筋被拉伸，根据后来跨中钢筋取样[8]，爆炸后板钢筋的伸长率仍有7.5%，通常规范合格HRB400钢筋的伸长率为16%～21%，也就是说爆炸使板跨中钢筋约拉伸了8.5%～13.5%，这得益于楼板是现浇板的连续性。民用建筑预制板中的钢筋通常采用伸长率为3.5%的小直径预应力筋，则在此次燃气爆炸中，跨中预制板钢筋会被拉断，房屋可能出现更大的损伤。

2.4 对解析解计算结果验证

利用民用住宅中的燃气爆炸的实际工程，对燃气爆炸后钢筋混凝土楼板的变形进行了测量，根据楼板最大挠度测量值，运用变分学中的伽辽金法，从虚位移原理出发，推出燃气爆炸时的荷载作用值为1.19 Pa。文献[9]中用数值模拟的方法模拟了燃气爆炸的情况：在工业燃气管道中，一端封闭，一段开口，起爆点在封闭端，燃气与空气混合密度为1.19×10-3g/cm3，按化学当量进行混合，该密度环境下，数值模拟得出侧壁面上压强曲线在0.75～1.8 MPa内波动，模拟爆炸作用时间段在0.3～32 ms之间；在t=0.9 ms时，管道侧壁面上压强达1.2 MPa。本文计算结果与该模拟压强值较为一致。

由于从式(2)到式(3)作简化后得到的是个近似解，为分析其误差，用有限元软件对该板进行试算，条件为：C30钢筋混凝土板，四边固结，荷载组合采用标准组合，恒载组合系数1.0，活载组合系数1.0；当板面恒载为4.5 kPa、活载为1.213 MPa时，计算板挠度，板的最大竖向位移为133 mm。图8为板计算条件图，图9为板挠度图。误差为(1.123-1.189)/1.123=1.98%,本文变分法计算出来的结果与有限元法精确解误差约2%。

3 结 语

运用变分法的极值问题方法，反推出燃气爆炸时结构受到的伪静荷载，并结合实际工程案例，得出下列观点及防爆措施：

(1)在民用建筑燃气爆炸后，通过检测变形大的钢筋混凝土楼板，用变分法反推爆炸对结构的荷载作用大小是可行的。反之，该偶然荷载作用对结构进行极限变形设计验算有着实际意义。

(2)爆炸后被拉伸楼板钢筋的残余伸长率的检测，表明爆炸使板跨中钢筋拉伸了较大。中国在1970～1999年建造的大量住宅采用的预应力空心楼板，这些预应力空心楼板在燃气爆炸时易被拉断。也就是说，这些用预应力空心楼板的房屋在煤气爆炸时局部垮塌是大概率事件。

(3)为了达到受损可控原则，延伸率小于9%的钢筋不宜单独用做民用建筑的可能发生燃气爆炸的房间楼板受力筋。

(4)通过楼板变形效应计算出的荷载值，在混凝土梁构件安全性鉴定时可供参考。该数据也为以后的民用建筑燃气使用场所的抗连续倒塌设计提供重要数据资料。

(5)抗爆措施：为使楼房在燃气爆炸时不发生连续倒塌，楼板内不能只配预应力钢筋，应加强板端拉结钢筋的配置，应加强承受竖向荷载构件而且不应只有砌体墙，泄爆口合理设计等，同时也应加强人员被气浪抛出屋内的其他技术措施。

[1] 胡海昌.广义变分原理在近似解中的合理应用[J].力学学报，1982,14(1):1-7.

HU Haichang. Generalized variational principle in reasonable application of approximate solutions[J]. Journal of Mechanics, 1982(1):1-17.

[2] 欧斐君.变分法及其应用[M].北京：高等教育出版社，2013:132-135.

[3] 中华人民共和国住房和城乡建设部.混凝土结构设计规范: GB50010-2010[S].北京:中国建筑工业出版社,2010.

[4] 毕继红,王晖.工程弹塑性力学[M].天津:天津大学出版社,2003:165-185.

[5] 段怡敏.西安市春晓新苑1号楼施工图[Z].西安:中国建筑西北设计研究院, 2007.

[6] 高永红,范俊奇,楼梦麟.新Ⅲ级钢筋动力性能及在抗爆结构中应用实验[J].同济大学学报(自然科学版),2012,40(12):1778-1782.

GAO Yonghong, FAN Junqi, LOU Menglin. New level III dynamic performance of steel and its application in blast-resistant structures[J]. Journal of Tongji University (Natural Science Edition), 2012,40(12):1778-1782.

[7] 中国工程建设标准化协会.建筑结构荷载规范: GB5009-2012[S].北京:中国建筑工业出版社,2012.

[8] 徐赐敏.西安市春晓新苑1号楼爆炸后检测报告[R].上海：上海宝冶工程技术有限公司,2012.

[9] 宁建国,王成,马天宝,等.爆炸与冲击动力学[M].北京:国防工业出版社,2010:364-366.