初中生数学思维发散障碍的呈现与突破

张诚

摘 要 中学数学学习需要思维的发散，但在学习中许多学生的数学思维是发而不散，导致数学解题的频繁失误。教师在日常教学中应当多用“变式”来破除“定式”，衰减“思维惯性”。本文通过对一道中考试题的“典型失误”的统计和分析，提出了突破学生数学思维发散障碍的教学和命题建议。

关键词 思维惯性 发散性思维 图形表达 具体化

数学学习中学生的思维不能很好地发散的原因是多方面的。通过一道试题“典型失误”的统计分析发现，数学问题解决的发散性思维主要发生在问题具体化的过程中。就命题的角度而言，应当特别注意图形表达的具体化特征，避免具体图形给学生的发散性思维带来不必要的干扰。

二、一个“典型失误”及其中隐含的问题

本题第（2）小题和第（3）小题都需要分两种情形解答。其中，第（2）小题需要分别考虑P点在y轴左侧与右侧的情形；第（3）小题需要分别考虑P点在x轴上方和下方的情形。然而，阅卷过程中发现学生在本题最为典型的解题失误就是在这两小题中只针对一种情形作答。

随着阅卷数量的增加，笔者发现上述“典型失误”还呈现出两个明显的特点。一是“只针对一种情形作答”的考生在第（2）小题集中于“P在y轴右侧”这种情形，在第（3）小题集中于“P在x轴下方”的情形。二是考生的上述失误现象在第（2）小题上表现得比第（3）小题要严重很多。笔者对此作了粗略统计，在第（3）小题有所得分的学生中，约有35%的学生想到了P在x轴上方的情形。而在第（2）小题中，只有约10%的学生想到圆心P在y轴左侧的情形。

分析本题的第（2）和第（3）小题容易发现，两个小题虽然考查的知识点不同，但是对思维的发散性要求并无区别。如果学生在第（2）小题中“想不到两种情形”，那么在第（3）小题中也会有同样表现。但事实表明，学生在两小题上的发散性思维存在着较大的差别。为什么学生只想到一种情形，并且集中于某一种情形？为什么学生在（2）、（3）两小题上的发散性思维表现出明显的差异？

三、原因分析

统计结果表明，在第（2）小题，学生的认知局限于“P在y轴右侧”这一情形。一个重要的原因是这一情形相对于另外一种情形（“P在y轴左侧”情形）更契合学生的一个“思维惯性”。这个“思维惯性”就是我们对“P是直线AB上一动点”这一条件作内部具象化表征时，往往习惯于将点P置于A、B两点中间。更为重要的原因是，试题在条件陈述之外提供了“图1”，而从图1中可以发现，其中⊙P的位置（点P位于A、B两点中间）恰好又契合了上述“思维惯性”，这就有意无意地将“思维惯性”作了一次强化。观察图1还发现，其中⊙P的位置非常接近于第（2）小题“⊙P过点B”这一题设条件。在学生对第（2）小题的题设条件进行感知时，图1几乎可以直接成为问题的具体化表征。这就使得学生在问题感知之后，完全跳过了对“题设条件作发散性思考”这一步，直接进入到具体问题的分析阶段。也就是说，学生在第（2）小题中“一边倒”式地定式于“P在y轴右侧”这一情形，有主观上的“思维惯性”作用，更有试题表述所带来的惯性强化与问题表征的“导向”作用。

到第（3）小题，主观上的那个“思维惯性”以及图1的惯性强化作用依然是存在的，所以很多学生只针对“P在x轴下方”这一情形作答。但是，与第（2）小题不同的是，图1中P点所处的位置与第（3）小题中“⊙P与x轴相切”这一题设条件相去甚远，学生在第（3）小题的问题感知之后，需要根据题设条件自主建构问题的具体化表征。在学生“自主建构具体化的问题表征”时，“对条件作发散性思考”这一智力动作就有可能发生，从而使得部分学生意识到“两种情形”的存在。也就是说，在第（3）小题中，图1所起到的思维干扰与误导作用要比第（2）小题小很多。这就是学生在两小题上的发散性思维表现出较大的差别的主要原因。

总结以上分析，笔者认为学生在本题表现出的“思维不发散”，主要是两个方面的原因。一是主观上的“思维惯性”作用；二是试题提供的配图在客观上起到了“惯性强化”作用。如果本题不提供配图，而完全采取文字描述的方式，反而更有助于学生的发散性思维，并且这种发散性思维在第（2）和第（3）小题上也就不会表现出太大的差别。

四、启示

1.在問题解决的过程中保持批判意识，有助于突破思维囿限

通过对“典型失误”的分析，笔者认为，对一个数学命题的发散性思维主要发生在命题感知之后的具体化过程中。通常情况下，一个数学命题需要经历“命题感知（理解题意）——具体化（构建抽象命题的具体对象）——具体问题解决——反思与总结（基于具体对象的概括，回到抽象）”的过程。在这个过程中，“具体化”就是指将抽象的试题陈述对应为具体的图形表达或符号表达。也就是说，从抽象对象到具体对象转换的时候，最需要发散性思维的介入。一旦具体化过程结束，进入到具体问题解决阶段，个体的思维就会集中于具体情形的分析，从而很难跳出具体情形的思维囿限。能否突破这个囿限，很大程上取决于个体思维的批判性。由此带来的启示就是在问题解决的全过程中，不断提醒自己：我是否忽略了什么？当前的情形是否具有一般性？是否还存在着另一种情形或另一个方面？……这种批判意识的保持，能促进我们及时回顾与反思，进而使“丢失的一般性”有可能被意识到。

2.日常教学中应当多用“变式”来破除“定式”，衰减“思维惯性”

所谓“思维惯性”，也就是认知心理学上所说的“思维定势”和“功能固着”。它产生的一个重要的原因就是过往的学习中知识的非本质属性被泛化。比如，在“三角形”这一概念的学习中，我们总是习惯于画出一个锐角三角形，这就使“锐角”这一非本质属性被泛化了，从而学生对“三角形”这一概念的内部和外部表征都定式于“锐角三角形”。在上述试题中，学生对“P是直线AB上一点”这个题设条件产生的“思维惯性”，原因就在于在日常教学中，也是习惯于将“P置于A、B两点之间”的。也就是说，“学”的惯性与“教”的惯性是“一脉相承”的。要想学生“学”得发散，教师首先要做到“教”得发散。因此，教师在日常教学中应当特别注意运用“变式”。所谓“变式”就是指保持对象的本质属性不变，而将其非本质属性作尽可能的变化。这样既能防止非本质属性的泛化，又有助于本质属性的凸显。更为重要的是，变式的过程其实也就是发散思维的过程，它能有效地通过教师“发散性地教”促进学生思维的广阔性，使学生习惯于全面地、多角度地看待问题。

3.命题时应注意图形表述的“具体化”特点

学生在上述试题的第（2）和第（3）小题中表现出明显的发散性思维差异，一个重要的原因是“图1”的“思维导向”作用。可以肯定的是，命题者在试题文字表述之外提供“图1”的初衷，是为了让学生更好地理解题意。但是，命题者在提供图1的同时却没有意识到图1又在无意中“框”住了学生的发散性思维。我们对照试题的文字表述与图形表述会发现，文字表达是通过文字或符号的指代意义来间接地表达数学关系结构，这一特点使它具有抽象的表达效果，而图形表达是对关系结构的直接描述，它必然是具体的。因此，我们在命题的过程中如果要用图形来表达题意的话，就要特别注意图形表达的“具体化”特点。如果一个试题打算将学生的思维发散性作为一个考查指向的话，那么，试题在表述中就要特别注意对“配图”的使用，防止其带来的不必要的思维干扰。事实上，如果命题者有意将“思维的发散性”作为能力考查的一个指向，上述题目完全可以不配图，将“具体化”的过程完全留给学生。

【责任编辑 郭振玲】endprint