于广春
摘要:高中数学的解析几何部分是学生学习的难点.在教学过程中要多进行微型探究,多角度研究问题,结合图形让同学理解.微型探究式教学的本质是培养学生的合作探究能力,变被动学习为主动学习,在老师提供大量的指导和帮助下学生来完成.本文通过直线方程这部分内容在教学中微型研究,来解决有关直线方程的应用问题.
关键词:直线方程;数学思想;应用研究
高中数学微型探究教学是现在数学教学领域的一种创新的教学方式.它针对数学科目的教学情况,用特别的方式传授给学生数学知识.直线方程是解析几何中最简单的一种曲线,求解直线方程是解析几何中最基本,最重要的一类问题.直线方程的应用主要有直线方程与坐标轴围成的面积问题;直线方程与圆锥曲线的关系问题等.本文就直线方程应用微型探究教学这一教学方式进行分析和探究,从而达到高中数学的有效教学目的,促进学生分析问题、解决问题能力的发展.
一、课前复习直线方程的各种形式
课前引入直线方程的五种形式时让学生回答各种形式的直线方程分别表示什么样的直线和不能表示什么样的直线,使图形根植在学生的头脑中.
直线方程的五种形式:
1.斜截式:y=kx+b
2.点斜式:y-y0=k(x-x0)
以上两种直线方程的限制条件是都不能表示斜率不存在的直线,即垂直于x轴的竖直的直线;
3.两点式:y-y1y2-y1=x-x1x2-x1
两点式直线方程的限制条件是不可以表示平行于y轴水平的直线和垂直于x轴竖直的直线;
4.截距式:xa+yb=1
截距式是两点式的特殊形式,截距式直线方程的限制条件是不可以表示平行于y轴水平的直线和垂直于x轴竖直的直线和过原点的直线;
5.一般式:
Ax+By+C=0(A,B不全为零)一般式可以表示平面内的任意一条直线.在复习这几种形式时我们就要把每种直线方程所不适用的直线,引导学生用语言刻画出来,这样将抽象的数学表达式形象化.
二、典例探究直线方程的应用
1通过具体数值提出问题,为一般性结论做铺垫
例过点P(2,1)的直线L分别交x,y正半轴于A,B两点,求ΔABO面积的最小值.
生甲 :
由题知横纵截距都存在,所以直线方程为xa+yb=1(a>0,b>0).
因为过点P(2,1),
所以2a+1b=1.
2a+1b=1≥22ab .
所以2ab≤14.
所以ab≥8(当且仅当2a=1b,即a=4,b=2时取等号).
sΔ=12ab≥4(当且仅当2a=1b,即a=4,b=2时取等号).
生乙: 由题意知斜率存在
设直线方程为y-1=k(x-2),(k<0)
令x=0时,得y=1-2k,即A(0,1-2k).
令y=0时,得x=2-1k,即B(2-1k,0).
SΔ=121-2k2-1k(k<0).
所以SΔ=12(4-1k-4k).
-1k-4k≥2(-1k)·(-4k)=4.
即当-1k=-4k,k2=14.
因为 k<0,所以 k=12.
直线方程为y=-12x+2,与两坐标轴交点为A(0,2),B(4,0).
sΔ=12×2×4=4.
2引导学生从图的角度探究取P为中点时面积最小
当绕点P顺时针旋转直线,与x,y轴分别交于A′,B′两点,如图2.
分析PA′>PA,PB′ ∵PA=PB. ∴PA′>PB′. ∠APA′=∠BPB′. SΔPAA′=12PA·PA′·sin∠APA′. SΔPBB′=12PB·PB′·sin∠BPB′. SΔPAA′>SΔPBB′. SΔA′B′O=SΔABO+SΔPAA′-SΔPBB′>SΔABO. 当绕点P逆时针旋转直线,与x,y轴分别交于A′,B′两点,如图3. 分析PA>PA′,PB ∵PA=PB, ∴PA′ ∠APA′=∠BPB′. ∵SΔPAA′=12PA·PA′·sin∠APA′ SΔPBB′=12PB·PB′·sin∠BPB′. ∴SΔPAA′ ∴SΔA′B′O=SΔABO+SΔPBB′-SΔPAA′>SΔABO. 3引导学生探究过定点P的直线与坐标轴围成的面积 学生解析: 不妨设点P在第一象限,因为横纵截距都存在,所以直线方程为xa+yb=1(a>0,b>0),又因为过点P(m,n),所以ma+nb=1. 因为ma+nb=1≥2mnab. 所以mnab≤14. 所以ab≥4mn(当且仅当ma=nb时取等号). 所以sΔ取最小值2mn时,ma=nb. 又因为ma+nb=1,则a=2n,b=2m. 学生此时可以发现点P为直线与两坐标轴交点的中点. 教师引导学生总结一般性的结论: 过点 P(m,n)的直线L分别交 x,y 正半轴于A,B 两点,则ΔABO面积的最小值是 SΔmin=2mn,此时 P 为 A,B 中点. 为了加深学生对这一结论的认识,教师将此问题再深化,引导学生探讨当已知直线与坐标轴围成的面积值时,有几条直线的问题. 变式过点P(2,1)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线的条数共有几条? 生甲:s=12ab=5ab=±10. 由2a+1b=1ab=±10, 解得a=5-5b=5+52 或a=5+5b=5-52 或a=-5-35b=-5+352 或a=-5+35b=-5-352.可见满足题意的直线有4条. 教师引导学生从图的角度来思考为什么上题中过点P(2,1)与两个坐标轴围成的三角形面积为5的直线条数是4条. 生乙:由面积的最小值为SΔmin=2mn=4可以知道在第二象限有两条直线满足与两个坐标轴围成的三角形面积为5,在第一和第三象限分别一条直线满足与两个坐标轴围成的三角形面积为5. 通过本题,学生应用上面探究所得的结论轻松解决直线与坐标轴所围成的面积值已知时,有几条这样的直线的问题. 综上,在微型课的探究式活动中,学生探究能力决定本节课的教学质量,学生会有畏难情绪,有时难以达到探究目标,所以教师要做到循序渐进设置问题,同时在学生容易出现困难的地方根据内容合理设置问题.这样才能调动学生的积极性,主动去探究数学知识.掌握直线方程的知识是学好解析几何的基础,而解析几何的本质是几何图形的代数化,代数结果的几何化,考查学生分析问题和解决问题的能力.所以笔者认为在平时的教学中应当紧抓代数、几何两种方法,引导学生进行探究,从形和数即从直观的几何图形和函数的角度研究解析几何的问题,将数形结合的数学思想和数学知识点的微型探究教法贯穿于解析几何的整个教学中. 参考文献: [1]杨华 教学中困惑教研中解决反思中提升[J]中学数学研究,2015(3):25-26. [2]刘电芝 學习策略研究[M] 北京:人民教育出版社,1999:303. [3]黄鹏程 高中数学微型探究教学的实践[J]中学数学杂志,2014(9):44-45