遥似天边月，实则案前灯

卢会玉

摘要：2017年高考数学全国卷Ⅱ（理科）12题考查的是向量的知识.本论文利用探究的方式得到了两种方法：一种是代数法（坐标化）；另一种是几何法，巧妙的利用中点解决问题.

关键词：高考；向量；几何法；坐标法

高考万众瞩目，无论是那些经历过高考的人，还是即将经历高考的人，都在密切的关注着有关高考的一切.笔者所执教的高一的学生在高考结束后的第一节课就急切的问笔者：“今年高考数学题难不难啊？”这在教师的预料当中，这节课就来赏析高考题.为了能给学生更多的自信，笔者选择了和学生正学的内容息息相关的知识来进行赏析，这样既能让学生感受到当下知识的重要，更能感受到高考的难度，教师通过PPT展开讲解：

2017年高考数学全国卷Ⅱ（理科）12题：

已知ΔABC是边长为2的等边三角形， P为平面ABC内一点，则PA·（PB+PC）的最小值是（）.

A. -2B. -32C.-43D.-1

教师问学生这题所涉及的知识是什么？学生齐声回答是“向量” .那你们敢不敢挑战？得到的回答当然是肯定的.于是笔者补充道：“这题大家先不要讨论，就当你自己在高考的考场.”

通过同学们的独立思考，和最后互相间的讨论，他们得到了如下的方法：

解法1（代数法解决最值问题）

建立如图1所示的直角坐标系：则A（-1，0）、B（0，3）、C（1，0）.

设P（x，y），则PA=（-1-x，-y）、PB=（-x，3-y）、PC=（1-x，-y）.

从而PA·（PB+PC）

=（-1-x，-y）·（1-2x，3-2y）

=（-1-x）（1-2x）+（-y）（3-2y）

=2x2+2y2+x-3y-1

=2（x+14）2+2（y-34）2-32≥-32.

当且仅当x=-14，y=34时取等号.

大多数的学生都是因为ΔABC是边长为2的等边三角形才想到用坐标化的方法.讨论的过程中，也有同学建立坐标系的方法不同，解答更加简洁一些.

这时我又提出，同学们想想能不能用几何法解决呢？

遇到的第一个难点就是如何理解PA·（PB+PC），同学们在这个问题上倒是没有遇到太大困难，几乎都能想到先解决PB+PC.可是如何解决？此时就要想到取BC的中点E，也就是说化PB+PC=2PE.这时候，问题转变为2PA·PE的最值问题，虽然看起来是新的问题，但和刚才是一回事，也就是说PA和PE的联系是AE的中点F.

分析到这里学生已经信心满满了，接下来的问题就只能见招拆招了.

解法2（几何法解决最值问题）

取BC的中点为E，取AE的中点为F，连接PE、PF.如图2所示：

则 PA·（PB+PC）

=PA·2PE

=2PA·PE

=2（PF+FA）·（PF+FE）

=2（PF-12AE）·（PF+12AE）

=2（PF2-14AE2）

≥20-14（3）2=-32.

当且仅当P与F重合时取等号.

最后同学们又踊跃的发表了自己的看法，分析两种方法的优劣以及自己的喜好，有人觉得坐标法更直接，有人觉得几何法更快捷.其实从方法本身来讲，没有好坏之分，因为对学生而言，将来还会碰到很多题目，这两种方法一定都有他的用武之地.

一节课很快结束了，同学独立思考、热烈讨论和通力合作，進行了思想和思想的碰撞，让这个向量问题已经超过了它本身的意义.对于这个高考题引起的思考，对于笔者来讲，不仅仅让学生学会了这个数学题，更多的是让学生增加了对数学学习的兴趣，以及对高考的进一步的认识，同时还增强同学间的友谊以及师生间的和谐.endprint