基于MATLAB的三叉杆滑块式万向联轴器运动学分析

杨福芹，方业云

(青岛科技大学机电工程学院，山东 青岛 266061)

三叉杆滑块式万向联轴器是一种适用于输入轴与输出轴具有一定夹角时进行运动和动力传递的新型联轴器[1]。该联轴器具有结构简单、安装方便、造价低、传动效率高、同步性能好、传输能力强且随偏转角增大而降低平缓等优点，于2009年获第十八届全国发明展览会金奖[2]。但迄今为止，三叉杆滑块式万向联轴器尚未在工业上获得推广应用，究其原因还在于理论分析不够。

MATLAB是一种集成数据分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模与仿真等诸多功能的计算工具[3]。本文采用MATALAB软件研究当输入轴按给定转速匀速转动时三叉杆滑块式万向联轴器中其他构件的运动规律，特别是输出轴角位移、角速度、角加速度等性能参数的变化情况，以期对联轴器的后续研究提供理论参考。

1 运动方程

把三叉杆滑块式等角速万向联轴器视为空间机构(如图1所示)，以方向余弦矩阵为工具采用坐标变换方法建立了联轴器的运动方程[4-5]:

(1)

hk=r-e-2ecos(2φi)

(2)

(3)

式中：φi为输入轴转角；φo为输出轴转角;r为滑块回转半径;l为输出轴长度;δ为输出轴相对于输入轴的偏转角;hk为滑块相对于三叉杆的位移;e为三叉杆交点的轨迹圆半径;sk为滑块相对于三叉槽的位移。

图1 三叉杆滑块式万向联轴器空间机构模型

2 运动性能分析

式(1)表明，三叉杆滑块式万向联轴器的运动特性除了随输入轴转角φi的变化而变化外，还与偏转角δ、滑块回转半径r、输出轴长度l等几何尺寸有关。为了便于分析，表1列举了联轴器不同几何尺寸影响运动性能的实例，其结果都是通过MATLAB 软件计算得来的。

表1 几何尺寸影响联轴器运动性能的实例

实例3～5反映了联轴器保持δ=15°、l=600mm不变时，r对各项运动参数的影响。由表1可知，r越小，各项运动参数的数值也越小，特别是滑块相对于三叉槽的位移、速度、加速度减小的幅度比较大。

实例3，6，7给出了联轴器保持δ=15°、r=50mm不变时，l对各项运动参数的影响。由表1可知，转角差传动比和输出轴角加速度与输出轴长度近似成反比关系，即随着输出轴长度的减小，转角差、传动比以及输出轴角加速度都在不同程度地增大。但滑块相对于三叉槽的运动不受输出轴长度的影响，无论输出轴长度如何变化，滑块相对于三叉槽的最大位移、速度、加速度分别保持50.8mm、352.7mm/s和70 552.3mm/s2不变。另外，l对滑块相对于三叉杆的运动有一定影响，随着l的减小，滑块相对于三叉杆的最大位移、速度、加速度分别是先减小，然后增大，但变化幅度不是很大。

实例3和8考虑了在一定偏转角下(δ=15°)，不同大小的联轴器的运动性能。比较发现，小尺寸的联轴器(r=30mm，l=400mm)最大转角差小，传动比也更接近于1，因此传动的同步性优于大尺寸联轴器(r=50mm，l=600mm)。另外小尺寸联轴器输出轴角加速度小，滑块相对于三叉槽和三叉杆的速度、加速度也都明显小于大尺寸联轴器，因此运动相对稳定，工作中冲击损失小。总之，在强度和刚度允许的情况下，小规格的三叉杆滑块式万向联轴器综合运动性能要好于大规格联轴器的性能。实例3和8还证明了一个事实，那就是三叉杆万向联轴器的运动性能对滑块的回转半径r较输出轴长度l更为敏感一些。

从实例8和9可以看出，三叉杆滑块式万向联轴器不适合在大偏转角下工作。相同大小的联轴器(r，l相同，分别为r=30mm，l=400mm)，当偏转角从15°增大到40°时，最大偏转角增大23.9倍，传动比增大101倍，非同步性急剧增加。与此同时，输出轴角加速度、滑块相对于三叉杆和三叉槽的速度和加速度也呈几倍甚至数十倍增长，在机构中造成严重的冲击和振动。总之，联轴器在大偏转角下工作时运动性能恶化。

以上实例表明，三叉杆滑块式万向联轴器适合在小偏转角下运行，而且最好径向尺寸不要过大。

联轴器输出轴的各项运动性能参数随着输入轴转动的连续变化情况可以从图2～5看出。

图2 输入输出角关系曲线

图3 转角差(φo-φi)曲线

图4 传动比曲线

图5 输出轴角加速曲线

图2中实线为三叉杆滑块式万向联轴器输入角和输出角的关系曲线，虚线为等角速联轴器输入角和输出角的关系曲线。除了在输入角为0°和60°两个时刻两曲线相交外，其余时刻两曲线不重合，这说明本文研究的三叉杆滑块式万向联轴器输入角和输出角之间不存在相等的线性关系，而存在一定的转角差。

图3给出了联轴器转角差随输入轴转动的关系曲线。从图中可以清楚地看出，输入轴回转一周，转角差曲线周期性变化3次，即转角差的变化频率为输入轴的3倍。观察发现在输入轴转至0°、60°、120°、180°、240°、300°、360°时，转角差(φo-φi)=0，这表明联轴器回转一周的过程中，存在6个转角相等的点。另外，尽管转角差很小，例如图示几何尺寸和偏转角下最大偏转角仅为0.084°，但转角差的存在却引发了输出轴角速度的波动，使其传动比i≠1。

图4给出了传动比与输入轴转角的关系曲线。从图中可以看出，传动比与输入轴转角的关系曲线近似为正弦曲线，且变化频率为输入轴的3倍。观察发现在输入角转至30°、90°、150°、210°、270°、330°时，传动比i=1，这表明联轴器回转一周的过程中，存在6个等速点。

图5表明输出轴角加速与输入轴转角的关系曲线是频率为输入轴3倍的正弦曲线，角加速为0的位置分别在0°、60°、120°、180°、240°、300°、360°。另外，角加速波动的幅度较小，在图示几何尺寸和偏转角下最大角加速度仅为0.078 7(°)/s2。

3 结论

1)三叉杆滑块式万向联轴器输入轴匀速转过一周的过程中，转角差、传动比、输出轴角加速度曲线周期性变化3次。

2)三叉杆滑块式万向联轴器滑块回转半径越大，偏转角越大，转角差越大，联轴器同步性越差，输出轴的加速度也越大，滑块相对于三叉杆和三叉槽的速度、加速度都增大，机构的振动和冲击加剧，噪声变大。

3)三叉杆滑块式万向联轴器输出轴长度对运动参数的影响要小一些，滑块相对于三叉杆的运动不受其影响。总之，从传递运动的角度来看，三叉杆滑块式万向联轴器适用于径向尺寸较小、偏转角不大的场合。

[1] 常德功，张启先，尹清珍，等.三叉杆滑块式等角速万向联轴器：ZL95110307[P].1996-03-13.

[2] 杨福芹，常德功，张礼增.基于MATLAB的三叉杆滑块式万向联轴器的动力学分析[J]. 青岛科技大学学报(自然版),2012,33(6):607-612.

[3] 周建兴，岂兴明，矫津毅，等.MATLAB从入门到精通[M].北京：人民邮电出版社，2012.

[4] 常德功，赵欣，周志刚.基于滑块的三叉杆式万向联轴器的运动分析[J].机械，2006，33(1)：1-3.

[5] 杨福芹. 三叉杆滑块式等角速万向联轴器的理论研究[D].上海：上海大学，2010.