知识视角下的数学核心素养及其生成

陈齐荣

（上饶师范学院数学与计算机科学学院，江西 上饶 334001）

当前，随着中国学生发展核心素养的学科推进，数学核心素养已成为热点议题。数学核心素养的概念内涵、要素构成等有关观点各执一词、众说纷纭、莫衷一是，“基本上是一人一个看法，一千个研究者心中有一千种核心素养”[1]。如果相关认识难以达成一致或比较一致，推进数学核心素养的课程改革势必困难，这也难怪基层教师为什么一听说核心素养，就觉得头大。“知识是教育的载体，教育是通过知识进行的，没有知识的教育不是教育。”[2]知识与素养并非二元对立，知识是素养生长的源泉。[3]同样，数学核心素养必须依托于数学知识，那么，如何辩证、科学地看待数学知识？数学知识与数学核心素养之间有哪些逻辑关联？外在的数学知识如何才能转化为学生内在的数学核心素养？围绕这些核心问题展开探讨，就有了重要的理论价值和现实意义。

一、知识与知识构成

从知识的演变历史来看，人们对于“什么是知识”的认知至少有三种观点：一是科学取向的理性主义知识观，该知识观以深刻的唯理论为哲学基础，强调知识的纯粹性、真实性、可靠性与客观性，其代表人物有柏拉图、笛卡尔等。柏拉图认为，知识是独立于时空之外的、纯粹的理性的作品，其来源不可感知；笛卡尔以“我思故我在”的哲学命题将感觉经验驱除知识的殿堂，认为真正的知识只能是来自于“纯粹理智”的、具有确定性特征的知识。二是以经验论为哲学基础的经验主义知识观，以亚里士多德、洛克等为代表，其核心观点是人的一切知识都是建立在经验之上，且最终来源于经验。三是工具取向的知识观，以杜威的实用主义、皮亚杰的建构主义和布鲁纳的结构主义等为代表，其核心论点为知识是人们认识世界、改造世界的工具，是主体对客体的符号表征，知识不能以实体的形式存在个体之外。

基于认识论种种问题的分析，托马斯.E.希尔把知识归结为认识的性质、认识的证实、认识经验与认识对象之间的关系等三类。[4]哈贝马斯则从认识与兴趣的视角，提出认识既不是单纯的工具，又不是纯粹的理性活动，认识主体和认识客体的联系最初就是借助于兴趣而建立。[5]基于知识构成的分析，李润洲提出任何知识都包括符号表征、思维方法与价值意义等三重含义。[6]

数学是空间形式和数量关系的科学。[7]数学知识是人们对于现实世界空间形式、数量关系的认识与反映。因此，从数学知识的构成来看，所有的数学知识都存在三个维度：内容维度、形式维度、旨趣维度。

数学内容维度主要包括数学概念、数学命题（如数学公理、原理、定理、法则、公式等）以及由概念、命题联结而成的数学知识体系。数学概念是空间形式和数量关系本质属性的思维形式，人们通过对现实世界中的数量与数量关系、图形与图形关系的抽象，得到了数学的基本概念，数学概念舍弃了具体事物的一切物理属性。数学知识体系的构建始于数学概念；数学命题源于判断，具有真或假的唯一性，数学命题由数学概念组合而成，反映了数学概念之间的关系；由概念与概念、概念与命题、命题之间的内在关系而构成的逻辑网络结构就是数学知识体系。数学内容以其独特的自然、符号和图形等数学语言为其表征形式。中小学数学教材中所呈现的主要是数学内容，具有基础性、外显性和系统化等特点。

数学形式是指数学的认知方式。认知方式是个体认识世界、处理经验材料的方式，是知识创生的主观条件和必要前提，数学形式主要包括数学能力、数学思想与方法。数学能力是顺利而有效完成数学活动的个性心理特征，包括运算能力、空间想象能力和数据分析能力。数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的深刻认识，反映的是数学与外部世界、数学内部发展的关系，包括数学抽象、数学推理和数学模型。数学方法是人们认识数学客体过程中某些规律性的程序或手段，主要有等量替换、数形结合、分类讨论、化归、转化等方法。义务教育阶段数学课程标准中的十大核心词（运算、推理、模型、应用意识、创新意识、数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析）、高中数学课程标准中的六个核心词（抽象、推理、模型、运算能力、空间观念、数据分析）是数学形式的具体体现。

数学旨趣是数学知识内容创生（知识创造、加工、生产）的动力源。旨趣是认识论的范畴，哈贝马斯认为个体对知识的认知源自旨趣，旨趣决定活动、指导活动。[8]数学旨趣包括数学知识内容创生过程中的价值取向、目标追求和情感体验；价值取向是指个体基于自己的价值观在面对或处理各种矛盾、冲突、关系时所持的基本立场；目标追求是为实现目标而付诸的努力，包括数学精神和数学信念。情感体验是个体数学知识内容创生过程中的主观感受，有积极和消极之分，积极的情感体验能够激励人的活动，提高活动效率。

数学内容是数学形式、旨趣的载体，为其提供依附作用，是知识作为客体的表现形式，表现为显性特点。数学形式和旨趣蕴含在内容之中，是知识作为主体的反映，具有隐性特征。采用不同角度、不同的数学形式对同一知识进行加工，可以得到不同的数学内容表征，如中学数学中“角”的概念，基于静态视角和动态视角可以分别得到“一个端线引出两条射线”和“一条射线绕着端点旋转而成”两个不同的数学概念。数学旨趣是数学知识创生的内在动力，制约着其内容与形式。数学内容、形式和旨趣从三个维度分别诠释数学知识“是什么”“怎么办”以及“为什么”的含义。从知识的创生过程来看，先有旨趣，再有形式，然后才有内容；从其作用于个体的影响来看，数学内容最容易忘记，数学形式不易遗忘，数学旨趣则根植于灵魂。

数学知识三维度与将知识分为陈述性知识、程序性知识和策略性知识的分法很相似，但两者分类对象不一样，知识三维度反映的是一个知识的三个方面，如数学命题“三角形内角和为360°”反映的是命题内容（包括自然语言、图形语言、符号语言的表示及其相互转换），这一命题的由来过程（包括“画、剪、拼”探究过程和数学论证过程）是该命题的形式，而参与命题的整个情感活动即命题的动力因素则归结为旨趣维度。陈述性、程序性和策略性知识则是按知识的类别划分。

另外，数学知识三维度与数学教学中的三维目标关系极为密切。数学内容反映的是数学概念、命题以及数学知识体系，理解、掌握数学内容实现的是知识与技能目标，即知识与技能目标是数学内容维度的具体体现。过程与方法目标旨在通过数学活动，经历数学探究过程，感悟数学思想方法，发展数学思维，培养学生用数学的眼睛观察问题、数学的思维思考问题及数学语言表达问题的能力，因此，过程与方法目标体现的是数学形式维度。知识的旨趣维度反映的是“情感、态度与价值观”目标。由此可见，数学知识三维度分别与三维教学目标相对应，数学知识三维度的教学有助于数学三维目标的实现。

二、知识视角下的数学核心素养

知识三维视角下的数学核心素养基于这样一个基本事实，即数学核心素养必须着眼于数学知识。那么，数学知识的三个维度是如何反映学生内在的数学核心素养？它们之间具有哪些内在关联呢？

李艺等将学科核心素养分三层架构，最底层以基础知识和基本技能为核心的“双基层”，中间层以解决问题获得的基本方法为核心的“问题解决”层，最上层是“学科思维层”。[9]知识三维观中的数学内容维度强调的是“是什么”的知识，掌握了数学内容也就获得了相应的数学知识；数学形式维度包含的数学关键能力，数学思想、方法，通过知识形式以获得问题解决的方法、形成数学思维，即数学形式直接指向数学核心素养的“问题解决”的“学科思维”层。李艺的学科核心素养层叠结构很好地解决了以往“四基”“四能”或“知识与技能、过程与方法”等学科目标的并行罗列而产生的误导之嫌，暗示着学科核心素养是一个从低级走向高级的发展过程。但该结构将学科思维置于学生发展核心素养的终极目标，忽视数学的文化价值对于学生发展的重要意义，忽视学生数学品格的塑造。

回顾我国数学教学目标发展历史，无论是以往的“教学大纲”，还是现行的“课程标准”，均把数学品格的培养作为重要目标。1951年的《普通中学数学科课程标准草案》将培养学生的“科学习惯”作为四大目标之一。1952年《中学数学教学大纲（草案）》提出的“重视数学思想”，培养“爱国主义和民族自尊心”“坚强的意志和性格”以及“辩证唯物主义世界观”，明确数学教学要完成思想教育的一般任务。1986年的《全日制中学数学教学大纲》提出“重视结合教学内容对学生进行思想教育”，重视“培养学生对数学的兴趣”和“科学态度”。1988年颁布的《九年制义务教育全日制初级中学数学教学大纲（初审稿）》提出“培养学生良好的个性品质”,包括了信念、思想、情操、意志、兴趣、独立思考、勇于创新等。1996年《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》形成了“双基+能力+非智力因素”比较完整的三足鼎立结构，提出了学习目的、创新精神、科学态度、独立思考及学习信心的培养目标。

现行的数学课程标准对于学生品格培养用词更为丰富。如课程目标旨在“提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信息，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度”，“认识数学的科学价值……，形成批判性习惯……体会数学的美学意义”；并将“情感、态度与价值观”课程目标予以单列；在对“过程与方法”目标修正的基础上，把“基础知识”“基本技能”扩充到四基，提出“基本思想”“基本活动经验”；另外，阐述了如“感知”“体会”“养成”“体验”“尝试”“形成”等学生品格教学更为具体的目标行为动词。

2016年发布的《中国学生发展核心素养》提出的六个素养综合表现：人文底蕴素养表现的“情感态度和价值取向”“审美情趣”，科学精神素养表现的“价值标准”“批判质疑、勇于探究”，学会学习素养表现的“学习意识”“乐学善学、勤于反思、信息意识”，健康生活素养表现的“珍爱生命、健全人格”，责任担当领域的“责任担当”，实践创新素养表现的“创新意识”“劳动意识”，都无一例外地包含着学生的“必备品格”。

我国著名的数学教育家张奠宙教授指出，数学核心素养不只是数学能力，还应包括情感态度、价值观，数学核心素养有“真、善、美”三个维度，其中包括数学的文化价值，欣赏数学智慧之美。[10]

基于上述分析，我们将数学核心素养界定为数学双基、数学思维和数学品格三个层面，分别反映着数学内容、形式和旨趣三个维度，数学核心素养与数学知识之间存在一种对应关系（如图1所示）。

图1 数学核心素养与数学知识对应关系

首先，学生数学核心素养的发展呈现由数学双基到数学思维，再到数学品格的层次发展特征，数学双基是数学核心素养发展的底层，数学思维是中间层，而数学品格（包括工具品格、文化品格）则是数学核心素养的顶层。所以，学生发展数学核心素养必须始于数学双基，经历数学思维，直达数学品格的塑造。这也从侧面佐证了“拥有知识不一定就有素养，而有素养的人一定拥有知识”。

其次，学生由数学内容获得数学双基，由数学形式形成数学思维，由数学旨趣塑造数学品格。因此，“数学双基——数学思维——数学品格”这一学生数学核心素养的发展暗线完全可以通过“数学内容——数学形式——数学旨趣”的知识明线予以实现，符合数学核心素养“可教”“可学”“可测”等特点。

最后，学生对于数学知识三维度的学习方式侧重点不同。数学内容侧重于“记”，数学形式强调“做”，数学旨趣则侧重“悟”。“记——做——悟”的学习方式是数学知识三维转向学生数学核心素养的对应法则，这为学生数学核心素养的生成提供了可实现的操作空间。

反观国内有关数学核心素养的观点，“数学核心素养包括数学人文、数学意识和数学思想三大要素及诸多二级细分”[11]，缺乏要素间的内在逻辑关系的考察；将数学课程标准的核心词抽象、推理、建模、直观想象、数学运算、数据分析等作为数学核心素养的全部[12]，恰恰忽略了学生数学品格的塑造；数学核心素养是“人的关键能力与思维品质”，把数学核心素养限定在智力范围，缺少智力活动的动力学考察。

反思以前的数学教育，我们对于数学知识的理解过于狭隘，缺乏全面的知识观，把数学内容当成数学知识的全部；疏漏了数学形式，特别是数学旨趣维度，数学知识的教学演变为数学内容的教学，教师成了知识的化身，数学内容的“传道”成了数学课堂教学的主要形式，忽视知识形式，特别是知识旨趣的领悟过程。让学生“一看便知、一听就懂、一练就会”“刷题”式的教学行为无法指向学生数学核心素养的发展。

三、数学核心素养的生成策略

数学核心素养的生成过程就是由数学内容、形式和旨趣到学生数学双基、思维和品格的转化过程，转化的途径与方法就是“记中学”“做中学”和“悟中学”。

双基的特点之一就是理解、掌握数学基础知识内容，学习与记忆密切相关，没有记忆就没有学习，学习从记忆开始。学生要获得数学知识，就必须记住相关数学内容，如数学概念内容、命题内容等。强调数学内容记中学，包括三层含义：一是倡导理解记忆、有意义记忆。反对死记硬背式的机械记忆，提倡在深入、透彻理解知识的基础上识记其内容的真正含义，记中学要求在学生原有知识、经验基础上进行，新知识内容要同学生原有认知结构发生“反应”，并形成新认知结构。二是强调本质内容的记忆，而不是非本质、表面、形式化的内容。小学数学“分数”概念从平均分引入分数的份数定义，比较自然，符合“几分之几”称谓，但并没有摆脱自然数的表示，没有反映分数概念的本质特征，因此，分数的学习要尽快过渡到“商”定义，分数作为商，显示它是一个“新”的数，有大小，在数轴上介于两个自然数之间，反映了分数的本质。三是要厘清知识之间的关系，把握知识间的脉络结构，形成融会贯通的知识网络，而不是零散、孤立的知识点。

数学内容的记中学，只能实现底层的数学核心素养，中间层和顶层的数学核心素养生成，还必须通过“做”中学和“悟”中学。倡导数学思维“做中学”，就是要反对被动消极静坐式的听中学行为，通过创设各种数学活动，如测量、折纸、剪纸、度量、试验、游戏、画图等形式，还原知识的发现过程。让学生亲历操作实验、自主探索、大胆猜测、合作交流、积极思考等活动，感受数学基本思想、体会数学学习的基本方法，积累基本活动经验，发展数学思维、获得解决问题能力，感受数学的魅力，领悟数学文化，形成数学品格。

“记”“做”“悟”作为数学核心素养生成的途径，它们之间不是并列关系，而是推进关系。“记中学”解决的是“学会”的问题，“做中学”解决的是“会学”的问题，“悟中学”达到的是“乐学”的境界。因此，通过数学知识的“记——做——悟”过程，就是学生“学会——会学——乐学”的过程，这个过程就是学生的数学智慧的生成过程，即数学核心素养的生成过程。

[1][3]周序.核心素养：从知识的放逐到知识的回归[J].课程·教材·教法，2017，37（2）:61-66.

[2]李润洲.知识与教育——兼评由应试教育向素质教育转轨所引发的论争[J].全球教育展望，2005，34（2）:15-17.

[4]托马斯.E.希尔.现代知识论[M].刘大椿，李德荣，高明光，等，译.北京:中国人民大学出版社，1989:1-2.

[5][8]哈贝马斯.认识与兴趣[M].郭官义，李黎，译.上海:学林出版社，1999:11-12.

[6]李润洲.学生学习力提升的知识论透视[J].教育科学研究，2015（11）:5-11.

[7]史宁中,孔凡哲.关于数学的定义的一个注[J].数学教育学报，2006（4）:37-38.

[9]李艺,钟柏昌.谈“核心素养”[J].教育研究，2015（9）:17-23，63.

[10]洪燕君，周九诗，王尚志，等.《普通高中数学课程标准（修订稿）》的意见征询——访谈张奠宙先生[J].数学教育学报，2015，24（3）:35-39.

[11]刘晓萍,陈六一.小学数学核心素养的构成要素分析[J].课程教学研究，2016（4）:42-45，48.

[12]华志远.数学核心素养的内涵与构成[J].教育研究与评论(中学教育教学)，2016（5）:41-44.