用方程思想解决实际问题

福建省南安市康美中学 戴灿阳

一、用方程方法解决几何问题

例1如图所示，用一块长方形铁片，在它的四角上各自剪去一个边长是4cm的小正方形，然后把四边折起来，恰好做成一个没盖的盒子。已知铁片的长是宽的2倍，做成的盒子容积是1536cm3，求这块铁片的长和宽。

解析：本题是求长方形的长和宽，已知是把该图形折成长方体并已知容积，长方体的容积公式即为本题的等量关系式。

由已知，假设宽为xcm，则长为2xcm，长方体盒子的底面是一个长方形，长是（x-8）cm，宽为（2x-8）cm它的底面积为（x-8）（2x-8）cm2。长方体的容积为1536 cm3，所以就可以列出方程：（2x-8）（x-8）×4=1536。

解此方程，求得方程的根并检验，确定方程的根，从而求得这块铁片的长和宽。

本题考查几何体的容积，通过假设适当的未知数，再利用长方体的容积公式就得到了一元二次方程，利用一元二次方程的解法求出它的解，检验答案的合理性，就解决了这个问题。

例2求直线y=-x+2与直线y=3x-1的交点坐标。

分析：这种求函数图象交点坐标的问题是与函数有关问题中的一类常见问题，要直接利用函数图象准确地找出交点坐标，对于尺规作图的方法很难做到，把求直线与直线的交点坐标看作求方程组的解就可以解决了。

∴这两直线的交点坐标为（2，-1）。

两条直线的交点实际上就是它们的公共点，这和方程组的思路是相通的，即两个方程的公共解，所以采用方程组的方法。

二、用方程思想解决经济问题

如华东师大（2008）版九年级（上）有一题：

例3阳江市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政收入的平均年增长率应为多少？

解析：本题要理解翻一番的意义。可以假设原来的财政净收入为a，两年以后财政净收入就是2a，再假设平均年增长率为x，相等关系就是财政净收入翻一番。可列方程：

A（1+x）2=2a。

解得方程的两个解，检验把不符合题意的解舍去，确定方程的解，从而求出这两年的年平均增长率。

本道问题没有一个数据，需要大胆假设，用什么不同的思路去思考问题，最后找到方程的方法，要有不怕失败的精神，才能使问题得以解决。

例4某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加10年。

（1）求商场经营该商品原来一天可获利多少元？

（2）若商场经营该商品一天要获利2160元，则每件商品应降价多少元？

解析：关于利润问题，有公式：总利润＝每件商品的利润×销售数量，每件商品的利润=销售单价-进价。本题的关键是销售量和销售单价紧密相关，是一个函数关系，也是本题的难点，应采用逐步解决、化繁为简的方法解决。（1）求出原来一天可获利润是一个代数问题，即：100×（100-80）＝2000（元）。而第（2）题应综合运用两个公式，利用（1）的方法及销售量和销售单价之间的关系，若假设每件应降价x元，则依据题意“每降低1元，其销售量可增加10件”得：销售量为(100+10x)件，类似（1）就可列方程：（100+10x）（100-80-x）＝2160。本方程是一元二次方程，求出它的解并检验，就可以得到问题（2）的答案了。

通过以上的例子我们可以看出，不论在代数或是几何等数学分支，我们都可以利用方程的方法解决实际问题，可见方程对于解决问题的重要性。法国著名数学家笛卡儿曾说过：“自然界的一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而所有的代数问题都可以归纳为方程问题求解。”这句话似乎说得太绝对了，但无形之中又告诉我们：方程在数学中有着极其重要的地位，对解决问题发挥着巨大作用，它是解决问题的有力工具，它是一把顶省力的“杠杆”。 总而言之，方程对我们日常生活起着非常重要的作用，利用方程这个杠杆解决实际问题，就可以起到事半功倍的功效。

[1]鲁晓琴．谈方程模型思想的渗透[J]．文化教育，2007（2）：36．

[2]张楚廷．数学文化[M]．北京：高等教育出版社，2002．