向量数量积运算的一次旅行

林如翰

平面向量兼备数形特性，融平面几何、三角、代数等内容于一身;数量积是运算的枢纽，运用处理有关长度、角度、平行、垂直等问题显得十分灵活、妙趣横生.在一次布置的作业题中发现许多同学富有创意、独特的解法，并通过整理展示如下，是自己平面向量教学的一次难忘旅程.

一、原题再现

如图1所示，设O为△ABC的外接圆的圆心，AB=2，AC=3，且∠BAC=120°，AB = a ，AC = b ，若AO =λ1 a +λ2 b （λ1>0，λ2>0），求λ1+λ2的值.

二、解法纷呈

方法1（取模法）  由AO =λ1 a +λ2 b 得

|AO |2=（λ1 a +λ2 b ）2=4λ21-6λ1λ2+9λ22，

由余弦定理得

BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°=19，

由正弦定理得  BC sin120°  2=4|AO |2，

所以4λ21-6λ1λ2+9λ22= 19 3 ， （1）

且O为△ABC的外接圆的圆心，

则|OC |=|AC -AO| =|AO |，

即| b -（λ1 a +λ2 b ）|2= 19 3 =4λ21+9（1-λ2）2+6λ1（1-λ2），

所以2λ1-6λ2+3=0. （2）

由（1）（2）解得λ1= 7 6 ，λ2= 8 9 ，所以λ1+λ2= 37 18 .

方法2（几何投影）  AO ·AC =|AC ||AO |cos∠OAC=3× 3 2 =（λ1 a +λ2 b ）· b =-3λ1+9λ2， （1）

AO ·AB =|AB ||AO |cos∠OAB=2×1=（λ1 a +λ2 b ）· a =4λ1-3λ2. （2）

由（1）（2）解得λ1= 7 6 ，λ2= 8 9 ，所以λ1+λ2= 37 18 .

方法3（平行四边形法则）  如图2所示，过O分别作直线AB，AC的平行线交AC，AB于F，E，AO =AE +AF ;在△AOF中，|AO|=R=  19 3  ，cos∠OAF= 3 2R ，∠AFO=60°，|AF|=3λ2，|OF|=2λ1，由余弦定理得 R sin60° = 2λ1 sin∠OAF ，所以 3 λ1=  4R2-9  2 ，所以λ1= 7 6 ;同理：在△AOE中，  R sin60° = 3λ2 sin∠OAE ，所以 3 3  2 λ2= R2-1 ，所以λ2= 8 9 ，所以λ1+λ2= 37 18 .

方法4（坐标法）  以点A为原点，AC所在直线为x轴，过A垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系，则AC = b =（3，0），AB = a =（-1， 3 ），则AO =λ1 a +λ2 b =（3λ2-λ1， 3 λ1），且|OB|=|OC|=|OA|，由两点间的距离公式可得：

（3λ2-λ1）2+（ 3 λ1）2=（3λ2-λ1-3）2+（ 3 λ1）2， （1）

（3λ2-λ1）2+（ 3 λ1）2=（3λ2-λ1+1）2+（ 3 λ1- 3 ）2. （2）

由（1）（2）解得λ1= 7 6 ，λ2= 8 9 ，所以λ1+λ2= 37 18 .

从以上解法可以看出，都需要建立方程组求解，方法2相对简洁、计算量小，但也不容易想到.

三、变式拓展

变换原题中的条件或结论，转换原题的内容或形式，使学生更好掌握数学对象的本质属性，激发学习兴趣与探索精神，提高学生数学水平，可将原题进行变式、拓展或延伸.

变式1  如图3所示，圆A的半径AB=AC=3，且∠BAC=120°，AB = a ，AC = b ，O在圆弧BC 上运动，若AO =λ1 a +λ2 b ，求λ1+λ2的取值范围.

解  设∠OAC=θ且00≤θ≤120°，所以AO ·AC =（λ1 a +λ2 b ）· b =9cosθ=9λ2- 9 2 λ1，

即cosθ=λ2- 1 2 λ1;

AO ·AB =9cos（120°-θ）=（λ1 a +λ2 b ）· a =9λ1- 9 2 λ2，

即cos（120°-θ）=λ1- 1 2 λ2，

由以上兩式相加得λ1+λ2=2[cosθ+cos（120°-θ）]= 3 sinθ+cosθ=2sin（θ+30°），

因为30°≤θ+30°≤150°，所以1≤λ1+λ2≤2.

变式2  如图4所示，椭圆A： x2 9 + y2 n2 =1（0<n<3），C为椭圆A的右顶点，B在椭圆上，AB=2且∠BAC=120°，AB = a ，AC = b ， O在椭圆弧BC 上运动，若AO =λ1 a +λ2 b ，求λ1+λ2的取值范围.

解  B的坐标为（-1， 3 ）代入椭圆方程得n2= 27 8 ，椭圆A上的任意点的坐标设为 3cosθ， 3 6  4 sinθ ，

令3cosθ1=-1，则sinθ1= 2 2  3 ，cosθ1=- 1 3 ，θ1是点B对应的离心角且90°<θ1<120°，

由AO =λ1 a +λ2 b 且设O点坐标为 3cosθ， 3 6  4 sinθ ，则0≤θ≤θ1，且3cosθ=3λ2-λ1， 3 6  4 sinθ= 3 λ1，解得λ1= 3 2  4 sinθ，λ2=cosθ+  2  4 sinθ，则λ1+λ2= 2 sinθ+cosθ= 3 sin（θ+φ），其中φ为锐角，且sinφ= 1  3  ，cosφ=  6  3 ，所以φ≤θ+φ≤θ1+φ<180°，cos（θ1+φ）=cosθ1cosφ-sinθ1sinφ=-  6  3 ，所以θ1+φ与φ互补，所以1≤λ1+λ2≤ 3 .

四、教学反思

平面向量数量积是培养学生运算力的好素材，要体现其工具性及应用的广泛性.教学中应注重平面几何、三角、基底、几何意义、坐标等思想方法或意识，努力提高学生思维能力及分析问题和解决问题的能力.学习的主动权还给学生，提供给学生独立思考、自主探究的时空，努力开发学生智力、潜能与兴趣培养为教学目标.努力提高自身素质与教学艺术，理解数学、理解教学、理解学生与掌握技术，开创自己教学的新篇章.