一类向量最值问题的求解策略

钱丽谈 曹关明

【摘要】 在平面向量這一章的学习中，经常会遇到一类以 a =λ b +μ c 为条件求最值的问题，本文借助A，B，C三点共线的充要条件是：有唯一实数对λ，μ，使OC =λOA +μOB ，其中λ+μ=1.得到了以下引理：给定三个不共线的平面向量OA ，OB ，OC ，满足OC =λOA +μOB ，OA =mOA′ ，OB =nOB′ （m，n∈ R ），直线OC与直线A′B′交于点C′，则mλ+nμ= |OC | |OC′ | ，若|OC |为定值，则当|OC′ |最大时，mλ+nμ取得最小值，当|OC′ |最小时，mλ+nμ取得最大值.从而快速地解决了上述平面向量最值问题.

【关键词】 平面向量;三点共线;最值;求解策略

一、问题的提出

在学习高中数学必修4平面向量时，遇到这样一个问题：

如图1所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC =λDE +μAP （λ，μ∈ R ），则λ+μ的最小值为（  ）.

A. 1 2

B. 1 3

C. 1 4

D. 1 5

解法1  如图2所示，建立直角坐标系，

设正方形ABCD的边长为1，P（cosθ，sinθ），

则AC =λDE +μAP =  1 2 λ+μcosθ，-λ+μsinθ =（1，1），

解得λ= 2sinθ-2cosθ 2cosθ+sinθ ，μ= 3 2cosθ+sinθ ，

∴λ+μ= 3+2sinθ-2cosθ 2cosθ+sinθ =-1+ 3（sinθ+1） 2cosθ+sinθ ，

由题意，0≤θ≤ π 2 ，

∴0≤cosθ≤1，

0≤sinθ≤1，（λ+μ）′= 6+6sinθ-3cosθ （2cosθ+sinθ）2 >0，

∴λ+μ在θ∈ 0， π 2  上是增函数，

∴θ=0时，（λ+μ）min= 1 2 .

评注：上述解法思路清晰自然，但解答过程过于烦琐，计算量太大，这时我们思考能否借助向量的几何意义来给出问题的解答呢？

二、问题的探究

条件AC =λDE +μAP 是平面向量的线性表示，其几何背景是平面向量基本定理：如果 e 1， e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a =λ1 e 1+λ2 e 2.与此定理有关的一个重要结论是三点共线的向量表示：A，B，C三点共线的充要条件是：有唯一实数对λ，μ，使OC =λOA +μOB ，其中λ+μ=1.由此，我们考虑构造一个三点共线的图形，得到以下新的解法：

解法2  如图3所示，将DE 平移至AF ，则AC =λAF +μAP ，

两边同时除以λ+μ，得

1 λ+μ AC = λ λ+μ AF + μ λ+μ AP ，

设AC′ = 1 λ+μ AC ，

则AC′ = λ λ+μ AF + μ λ+μ AP ，

由 λ λ+μ + μ λ+μ =1知，C′，F，P三点共线，

又λ+μ= |AC | |AC′ | ，而|AC |= 2 ，所以当|AC′ |最大时，λ+μ取得最小值，

观察图像可知：当点P与点B重合时，|AC′ |max=2 2 ，故（λ+μ）min= 1 2 .

评注：与解法1相比，此法简洁明了，且更具一般性.

三、解法的推广

变式  将上述问题变为“求λ+2μ的最小值”.

解  如图4所示，设点P′为以A为圆心，AE为半径的圆弧上的任意一点，则AP =2AP′ ，

所以AC =λAF +2μAP′ ，

两边同时除以λ+2μ，

得 1 λ+2μ AC = λ λ+2μ AF + 2μ λ+2μ AP ，

设AC′ = 1 λ+μ AC ，

则AC′ = λ λ+μ AF + μ λ+μ AP ，

由 λ λ+2μ + 2μ λ+2μ =1知，C′，F，P′三点共线，

观察图像可知：当点P与点E重合时（λ+2μ）min=2.

评注：利用三点共线的几何意义，问题还可以进一步推广到求mλ+nμ（m，n∈ R ）的最值，给出引理.

引理  如图5所示，给定三个不共线的平面向量OA ，OB ，OC ，满足OC =λOA +μOB ，OA =mOA′ ，OB =nOB′ （m，n∈ R ），直线OC与直线A′B′交于点C′，则mλ+nμ= |OC | |OC′ | ，若|OC |为定值，则当|OC′ |最大时，mλ+nμ取得最小值;当|OC′ |最小时，mλ+nμ取得最大值.

证明  OC =λOA +μOB =mλOA′ +nμOB′ ，

两边同时除以mλ+nμ，

得 1 mλ+nμ OC = mλ mλ+nμ OA + nμ mλ+nμ OB ，

设OD = 1 mλ+nμ OC ，由 mλ nλ+nμ + nμ mλ+nμ =1知，A，B′，D三点共线，

又因为OD ∥OC ，所以D点与C′点重合，

所以mλ+nμ= |OC | |OC′ | ，

因为|OC |为定值，所以当|OC′ |最大时，mλ+nμ取得最小值，当|OC′ |最小时，mλ+nμ取得最大值.

四、引理的應用

运用以上引理，我们可以轻松解决一类向量最值问题的求解：

例1   （2009年安徽）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120°，如图6所示，点C在以O为圆心的圆弧AB 上变动.若OC =xOA +yOB ，其中x，y∈ R ，则x+y的最大值是 .

解析  如图7所示，设直线OC与直线AB交于点C′，则x+y= |OC | |OC′ | .

由图得，当OC ⊥AB 时，|OC ′|min= 1 2 ，

所以x+y的最大值为2.

改编  如图8所示，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧AB上的一个动点.若OC =xOA +yOB ，则x+3y的取值范围是 .

解析  如图9所示，在线段OB上取一点B′，使OB =3OB′ ，设直线OC与直线AB′交于点C′，则x+3y= |OC | |OC′ | ，由图得，当点C与点A重合时，|OC′ |max=1，x+3y取得最小值1;当点C与点B重合时，|OC′ |min= 1 3 ，x+3y取得最大值3，所以x+3y∈[1，3].

例2   （2012年杭州二模）如图10所示，A，B，C是圆O上三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若OC =mOA +nOB （m，n∈ R ），则m+n的取值范围是（  ）.

A.（0，1） B.（1，+∞）

C.（-∞，-1） D.（-1，0）

解析  OC =mOA +nOB （m，n∈ R ），

两边同时除以m+n，得

1 m+n OC = m m+n OA + n m+n OB ，

设OC′ = 1 m+n OC ，

则OC′ = m m+n OA + n m+n OB ，

由 m m+n + n m+n =1知，C′，A，B三点共线，

又因为OC′ ∥OC ，所以D点与C′点重合，

又因为点D是CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的一点，

所以m+n=- |OC | |OD | ∈（-1，0）.