浅谈圆中常见的辅助线的作法

李宗先

【摘要】 在圆的学习中，经常会遇到一些和圆有关的难题，如果适当根据需要来添加一些辅助线，就会使问题迎刃而解.下面就以几道例题为大家介绍几种常见的圆的辅助线的作法.

【关键词】 圆;辅助线作法

一、连半径——构造等腰三角形

方法归纳：作圆的半径，利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形，这样就把有关线段或角的问题转化到三角形中来解答.

例1   如图所示，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A，C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E.若∠AOB=3∠D.求证：DE=OB.

证明  连接EO.

∵∠AOB=∠D+∠B，∠AOB=3∠D，

∴∠B=2∠D.

∵OB=OE，∴∠OEB=∠B.

∵∠OEB=∠DOE+∠D，

∴∠DOE=∠D.∴DE=OE.

∵OE=OB，∴DE=OB.

二、半径与弦长计算，弦心距来中间站

方法归纳：在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算.

例2   如图所示，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长是2 5 .

三、见到直径——构造直径所对的圆周角

方法归纳：圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角.构造直径所对的圆周角，便可充分利用这一性质，这也是圆中常用的辅助线作法.

例3   如图所示，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E.∠ACD=60°，∠ADC=50°，求∠CEB的度数.

解  连接BD.

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°.

又∵∠ADC=50°，

∴∠CDB=∠ADB-∠ADC=40°.

∵∠CDB與∠CAB是同弧所对的圆周角，

∴∠CDB=∠CAB=40°.

∴∠CEB=∠CAB+∠ACD=40°+60°=100°.

四、有圆的切线时，连接过切点的半径

方法归纳：已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得过切点的半径与切线垂直，从而构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题.

例4   如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F.切点为G，连接AG交CD于K.求证：KE=GE.

证明  连接OG.

∵FE切⊙O于G，

∴∠OGE=90°，∠OGA+∠AGE=90°.

∵CD⊥AB，

∴∠OAK+∠AKH=90°.

又∵∠AKH=∠GKE，∴∠OAK+∠GKE=90°.

∵OG=OA，∴∠OGA=∠OAG.

∴∠KGE=∠GKE，∴KE=GE.

五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切

方法归纳：证明一条直线是圆的切线.

① 当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可;

② 当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d=r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径.

例5   如图所示，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相交于点E.

（1）求证：AD是半圆O的切线;

（2）连接CD，求证：∠BAD=2∠CDE;

（3）若∠CDE=27°，OB=2，求BD 的长.

解  （1）证明：连接OD，BD.

∵AB是半圆O的切线，

∴AB⊥BC，即∠ABO=90°.

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB.

∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO.

∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO.

∴∠ADO=∠ABO=90°，∴AD是半圆O的切线.

（2）证明：连接AO.∵AB，AD是半圆O的切线，

∴∠BAD=2∠BAO=2∠DAO.

又∵AB=AD，∴AO⊥BD.

∵∠BDC=90°，∴BD⊥DC，∴AO∥DC，

∴∠DAO=∠CDE，∴∠BAD=2∠CDE.

（3）∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC=90°.

∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE=90°.

∴∠BDO=∠CDE=27°.

∴∠BOD=180°-∠DBO-∠BDO=180°-27°-27°=126°.

∵OB=2，

∴BD = 126×π×2 180 = 7 5 π.

上面的几道例题中总结了在圆的学习中几种常见的辅助线.通过这几道例题，大家对圆的几种常见辅助线有了一定的了解.在解决圆的实际问题中要因题而异，结合题意，选择适当的辅助线，通常就能解决问题.