初中数学《分式方程》教学中的易错点分析

陕西省三原县东郊中学 张小院

分式方程是初中阶段“数与代数”体系中方程部分的重要内容，是学生通过学习建立方程思想的重要过程，只有正确地理解和掌握整式方程的相关知识才能学好分式方程.因此，分式方程的研究综合了前面学习过的整式方程的知识，同时又为后继的内容做了奠基，起到了承前启后的作用.但在各层次的听课中，发现部分施教者在进行《分式方程》的教学中，尚存些许对教材知识理解不透彻，不全面，造成教学失误，影响学生对知识的正确、全面理解，制约学生应用数学知识解决问题的能力。现就施教中出现的易错点做如下整理和解析，希望能对大家在这方面的教学中有所帮助。

一、关于字母的取值

案例：若分式方程的解为正数，求a的取值范围。

错误教法：

解：原方程可化为：x=2(x-4)+a

x=2x-8+a

x-2x=-8+a

-x=-8+a

X=8-a

∵ 分式方程的解为正数

∴ x>0

∴8-a>0

∴a＜8. 所以a的取值范围为：a＜8.

出错原因：只考虑了此分式方程的解为正数而未考虑有解时最简公分母不为0，也就是分式方程要有解的前提条件。（即x-4≠0，x≠4）。

正确教法：

解：原方程可化为： x=2(x-4)+a

x=2x-8+a

x-2x=-8+a

-x=-8+a

X=8-a

∵ 分式方程的解为正数

∴ x>0且x-4≠0，即x>0且x≠4

∴8-a>0且8-a≠4

∴a＜8且a≠4

所以a的取值范围为：a＜8且a≠4

二、分式方程无解

案例：若关于x的分式方程无解，求m的值。

错误教法：

解：去分母得：x(2m+x)-x(x-3)=2(x-3)

∵ 分式方程无解

∴ 分式方程有增根

即x(x-3)=0

∴增根为x=0或x=3

把x=0和x=3分别代入x(2m+x)-x(x-3)=2(x-3)中，得：

m=

∴m的值为

出错原因：无解可能是分式方程无解即有增根，也可能化成的整式方程无解。

三、分式方程有增根

案例：若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）

A、0和3 B、1 C、1和-2 D、3

错误教法：将分式方程化为整式方程x（x+2）-(x-1)(x+2)= m后，直接将增根x=1和x=-2代入转化的整式方程，求出m的值分别为0和3.故选A。

错误原因：，未将求出的m值代入原分式方程进行验证。将m=0代入原分式方程后，原分式方程为：

此时，分式方程无解，与增根x=-2矛盾。

故m=0不符合题意，舍去。

教法总结：

第一，若关于某一未知数的分式方程有（正数、负数或非整数、非负数）解时，要确定某个字母的取值或取值范围，不但要使表示未知数的含这一字母的代数式满足正数、负数或非整数、非负数，还要排除使分时方程无解时含这一字母的代数式的值；

第二，分式方程的无解，与分式方程有增根存在着本质的区别，但在教学中部分教师确将分式方程无解理解为有增根，这是极其错误的，增根是使分式方程最简公分母为0的未知数的值。它说明分式方程化简为的整式方程有解，但这个解使分式的最简公分母为0，即此未知数的解为分式方程的增根，而无解有两种情况，即化成的整式方程无解和分式方程有增根；

第三，在针对分式方程有增根求某字母值时，若分式方程有多个增根时，先按照解分式方程的方法将分式方程化成整式方程，然后解此整式方程，即用含某一字母的代数式表示出未知数，再将分式方程的增根分别代入表示未知数的含某一字母的代数式，得到关于这一字母为未知数的方程，解这个方程便得到这一字母的值后，最后一定要将该字母值代入原分式方程进行验证。若该字母的值能使原分式方程产生增根，说明此字母值存在，若不能产生增根，则说明此字母值不存在，从而确定出满足要求的该字母的值。