高效数学课堂的三个层次——懂·通·透

☉江苏省苏州科技城外国语学校 李晓琴

怎样的数学课堂教学才是真正高效的？可以通过学生在课堂上对知识认知水平的三个层次进行衡量.初级层次——学生在课堂上对学习的知识是否懂了；中级层次——学生对基本知识和基本技能是否能够举一反三；高级层次——上升到学习的三维目标层面，学生是否对知识发生、发展、应用的全过程及其呈现规律有了透彻的认识.总之，高效的教学过程应该是学生从不懂到懂，从懂到通，再从通到透的拓展过程.

一、懂

对数学概念、定律、公式、法则等懂了，不仅能道出它的内涵，还能指出其外延，从而理解其在数学中存在的意义.在现实中有许多学生总是讲：“老师课上讲的内容我都懂了，还做了工整的笔记，但做练习时却无从下手.”到底何为懂了？靠死记硬背记住的知识内容不能算懂了.真正懂了具体表现为：第一，能够将概念、规律和定理等内容用自己的语言清晰地描述出来，能找到知识的关键；第二，能够将知识理解了，练习时不陌生.

在初中的数学课堂上该如何去教，学生才会懂了呢？这就需要教师熟悉教材，摸透学生的学情，不能用停滞的目光去审视学生，在备课时将教学过程中各个环节都设计到位.数学是较为抽象的，首先必须创设学生熟知的生活经验或事实的情境来引入课题，激发学生探究知识的兴趣，在具体生活经验中去抽象概括出新的数学知识，通过实验实践、动手操作来体验这些数学原理，才能真正懂了.

案例1在图1中，M是某反比例函数图像上的一点，以M点为一个角的顶点，与x轴和y轴组成一个长方形，其面积是8，因此可得出该反比例函数的解析式为y=_______.

以下是摘录课堂师生互动画面片段.

图1

师：①什么是反比例函数？举例说明.

②反比例函数的一般表达式是怎样的？

生：①如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例.剪一个面积为20cm2的长方形，长与宽的关系是反比例函数关系……

让同学们将本题的解题步骤写在纸片上（要规范步骤）.3分钟后让小组组长收集本组成员的解题纸片；教师进行筛选，通过电子白板投影方式将解题展示出来.

师：请学生乙上台说说自己的解题过程.

师：这两个同学都有自己的想法，孰对孰错？请同学们画出反比例函数或草图，看看情况吧.

师：通过作图对比（图略），能够理解k＞0和k＜0的图像形式了吧，第一次展示出来的解题步骤中存在的问题是：甲同学没有结合到图像信息，没有考虑双曲线在第Ⅱ、Ⅳ象限，也就是没有认识到反比例函数中的k＜0.

点评：倘若教师与学生一样对数学问题模棱两可，那么教学就失败了.怎样才能确诊学生是否真懂了呢？从案例可以窥见一斑，从他们能否对数学概念、定律、公式、法则等各种做出正确表述，并能知其然、知其所以然.当然，从教学实践表面看，题海战术能够强化学生建立数学概念，在应试中获得高分，然而，题海战术必然让学生在繁重的练习中对数学学习望而止步，失去学习的兴趣，这与现代教育的目标背道而驰.

二、通

“通”就是对所学知识融会贯通，在懂了的基础上运用知识进行推理、分析、归纳、综合，能够在新情境下举一反三.“通”在课堂上要求学生必须亲历同步题的解疑、实验技能的锤炼和思维拓展的构建，让他们养成换位思考问题的习惯.教师在剖析案例时，要点明不能忽视的关键词，用规范的解题步骤做示范，让学生能清晰地看清楚例题的解题思路，从而达成让学生自己总结出该类问题的思考方法.初中学生的思维具有模仿性，要让学生能够举一反三，必须先内化所学知识.因此，一道典型例题的剖析之后，需要用三道左右的变式练习进行仿照，按照教师的示范过程进行下去，达到内化为学生自己的数学思维方法.

案例2三角形中边与角之间的不等关系的课堂实录片段.

师：前面我们学习了等腰三角形，学生丙说说你判断一个等腰三角形的方法吧！

生：两条边相等、两个角相等、角平分线是角对边上的高……

师：该学生所讲的在等腰三角形中的两条边相等与两个角相等，边和角是什么关系呢？

生：边所对的角、角所对的边是一一对应的.

师：你们用什么方法知道了在三角形中相等的边所对的角相等？

生：对称图形的方法.

师：说得对！倘若三角形的边不相等或者是角不相等，边所对的角是什么关系呢？请同学们拿出三角形的纸片用对称的方法探究以下问题.

问题1：在△ABC中，如果AB>AC，可以得出∠C＞∠B吗？

生：（实践探究）先找一个△ABC纸片，在角上标识字母，使得AB＞AC，如图2，然后将△ABC沿∠A的平分线AM折叠，C点落在AB边上的点C′处，可知AC′=AC，这样得到∠AC′M=∠C.又由于∠AC′M是△BMC′的外角，故∠AC′M＞∠B，即∠C＞∠B.

图2

点评：对称图形的操作是一种有效的几何证明方法，其对称方法是角平分线，这是从等腰三角形顶角平分线得到的启示.通过学生的动手实践，驱动了学习兴趣，轻松地得出“在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大”的结论.

问题2：在△ABC中，如果∠C＞∠B，可以得出AB>AC吗？

学生如果能够折叠出图3，就可以证明问题2，这里就忽略练习步骤了.

点评：对称图形的对应关系是相同的，边的垂直平分线也是一种对称轴.学生没有动手实践，就不可能理解“对称”的含义，也就无从得出“在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大”的结论.

这就是将“等腰三角形”的对称性进行拓展，问等腰三角形的对称轴是什么，目的在于要求学生能够融会贯通，只有清楚了对称轴，才能进行拓展.

图3

三、透

“透”是透过对事物的现象抓住其本质，换一句话来说，就是对数学的“双基”有深刻的理解与掌握.无论是剖析数学概念、定律、公式、法则等，还是进行解题演练，其目的就是要开发学生解决某类问题的数学思维方法，这里的“方法”是自己的，而不是“技巧”，“技巧”是别人的方法.要学会触类旁通，明辨是非，这才是懂了、通了，学会“以渔而得鱼”，这才是透了.透了才能培养学生终生学习的习惯，才有利于学生的发展.

课堂上三个层次的设置是循序渐进的，如果没有对数学概念、定律、公式、法则等的“懂”，就不可能对知识融会贯通，更不会触类旁通，没有“通”，也不可能吃透知识，终生受益.教学是无定法的，而学习必须有法.只有让学生在课堂上懂了、通了、透了，这样的课堂才是高效的，有推广价值的.

1.张红生.变式教学让数学高效课堂更精彩［J］.中学数学（下），2011（9）.

2.陈明钟.实施过程性教学模式 构建初中数学高效课堂［J］.中学数学（下），2016（8）.

3.陈唐明.本质的角度·思想的高度·思维的效度——高效数学课堂的三个基本维度 ［J］.数学教学研究，2014（5）.H