怎样“圈”才正确？——由一道试题的争论而引发的思索

李 新

（江苏省南京市金陵小学）

不久前，在流水批改一年级试卷时，遇到了这样一道题：

梨有（ ）个，苹果有（ ）个，苹果比梨多（ ）个。将多的部分圈起来。

学生在完成“将多的部分圈起来”时，呈现出了两种解答，情况如下：

第一种：

第二种：

第一种圈法无可厚非，是正确的。可是第二种圈法却引起了阅卷老师评判的分歧。一部分老师认为这种圈法是错误的，应当将多出的部分圈一个圈。另一部分老师则认为“将多的部分圈起来”只要圈出了多的部分就可以，大圈小圈没必要分得这么清，其实都一样。认为圈法错误的老师还指出，类似这样的题目，书上都是圈为一个大圈的，没有出现过小圈，所以这样分开圈不正确。认为圈法正确的老师反驳道：书上的题目只证明了第一种圈法正确，并不能说明第二种圈法错误。两种圈法都按要求圈出了多的部分，应灵活批改，不应过分教条、死板，可以评为正确。还有年青教师表示，在平时的作业中就存在这样的现象，觉得没什么不妥，所以没有特别强调过。此刻，两种意见僵持不下。

我听了双方老师的争论，内心更倾向于圈法错误的评判，但是这种圈法究竟错在哪儿呢？如果没有确凿的理由，是很难让老师信服的。于是，我打开一年级教材细细思索起来。教材安排类似练习的用意何在呢？这应该是在为后面的“两数相差多少的实际问题”做铺垫吧！求两数相差多少是用减法来计算的。而我们所教给学生的减法含义是从总数中去掉一部分，求另一部分，可以用减法计算。两数相差多少之所以能用减法计算是因为，较大的数被看作了两个部分。一个部分是与较小的数相同的部分，另一个部分是比较小的数多的部分。去掉与较小的数相同的部分，剩下的就是比较小的数多的部分，也就是两数所相差的。就这道试题来说，苹果在与梨做比较时，10个苹果其实就被分成了两部分，一部分是与梨同样多的6个，另一部分是比梨多出的4个。只有理清了两部分之间的关系，才能进一步列出减法算式，求出梨与苹果相差多少。多出的4个苹果应同属一个部分，即比梨多的部分。所以从这个意义上理解，更加规范的圈法应该是用一个大圈把它们圈在一起，表示这是多出的一个部分。而用小圈则会带来歧义，被认为多出来的苹果不是同一个部分，而是4个各自为阵的个体。这势必会影响到学生后续的数学学习。我将这些想法告诉了老师，得到了大家的认可与支持。

事后，我感觉这个问题还应该找到相应的科学依据。所以我查阅了《数学辞海（第一卷）》（中国科学技术出版社，2002第37页）减法的定义：减法是数学中的基本运算之一。已知两个数a与b，如果存在一个数c，能满足b+c=a，那么c称为a和b的差（且差是唯一的）。求两个数的差的运算称为减法，记为a-b=c，读作a减b等于c，a称为被减数，b称为减数，符号“-”称为减号……苹果比梨多出的4个，就是数c，是10与6的差。差4其实就是一个集合。《小学教师实用数学辞典》（北京科学技术出版社，中国三峡出版社，2002第22页）指出：在数物体个数的过程中，我们数出的1、2、3、4、5…都叫做自然数，从集合的观点看，每一个自然数是一类等价的非空有限集合的标记。它表示非空有限集合中的元素的个数。例如，把两个苹果作为一个集合，把一个人的两个耳朵作为一个集合，这两个集合是等价集合。又如，把五本书作为一个集合，把人的一只手上的手指作为一个集合，这两个集合也是等价集合。前者等价集合的标记是“2”，后者等价集合的标记是“5”。它们都是自然数。也就是说只有将多出来的4个苹果作为一个集合时，可以用自然数4来标记。当填出苹果比梨多4个时，就已经把这4个苹果作为一个集合了。所以将4个苹果圈在一起，应该是更加规范、准确的解答。

这是一个意外带来的思考，让我收获了一个“真问题—真讨论—真发现”的过程。同时也让我深切地体会到对待数学教学应存的严谨、科学的态度。

［1］刘希栋.反思为学生数学思维搭建创新支点：反思性数学学习案例［J］.数学教学研究，2007（11）.

［2］韩龙淑.数学启发式教学研究［D］.南京师范大学，2007.

［3］吴利敏.反思性教学的评价研究［D］.云南师范大学，2004.