逆用无穷等比数列各项和公式证明不等式

上海市奉贤中学(201499)王志和

文献[1]给出了一种证明不等式的方法:逆用无穷等比数列各项和公式,学习后意犹未尽,经过反思,感觉到有很多不等式证明问题可以用这种方法解决,我们采撷若干例子,以求使得这种方法的内容更加丰富.

以下两例解题过程从略,解题过程见文献[1].

例16 (第19届莫斯科数学奥林匹克)对任意的实数x,y满足:|x|＜1,|y|＜1,求证:

例17(2003年全国联赛)已知x,y∈(-2,2),且xy=1,求的最小值.

答案

一般地,从以上的解答中可以看出,在已知条件中或待证的不等式中出现分式且有“减号”出现时,常常使得题目的解决带来困难,而考虑逆用无穷等比数列求和公式却是一个很好的选择.这种证法也是有限与无限相互转化辩证关系的一个很好的例证.

[1]沈文选,杨清桃,高中数学竞赛解题策略(代数分册)[M],浙江大学出版社,2012.83-85.