一道最值问题引发的思考

湖南省会同县第一中学(418300)于先金 唐邦友

一、问题呈现

题目已知a＞0,b＞0,且a+b=4,求y=的最小值.

这是合肥一中某届高三的一道考试题,值得我们去品味.通过对这道试题的探究,得到了一些有意义的结论:一是从错解中找到了错解的原因,可谓错中求真;二是得到了多种常规自然的解法,可谓精彩纷呈;三是得到了一些变式与拓展,使我们对问题的认识得更加深刻.

二、四种错解,错中求真

以上四种解法都错了！错在哪里?

对错解1,2,4,在y≥8中都当且仅当时等号成立,但这都不满足条件a+b=4;对错解3,在y≥8中当且仅当即ab=6时等号成立,但ab=6与条件a+b=4联立时a,b无解.综上可知,y的最小值大于8.

三、多种正解,常规自然

正解1(恒等变形,拆项利用均值不等式)

正解2(均值换元,一目了然)

因为a＞0,b＞0,且a+b=4,所以可令a=2-t,b=2+t,其中-2＜t＜2.由错解3中的恒等变形得

正解3(三角换元,别具一格)

评注本题也可通过代数换元,令b=λa,得并易求得

再利用函数单调性求出其最小值;也可视a为主元,将再利用导数求出函数的最小值.

四、变式拓展,精彩纷呈

显然函数f(x)在(0,n]上递减,在[n,+∞)递增.

五、结束语

美国著名数学教育家波利亚说:“一个专心的认真备课的老师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目,去帮助学生挖掘问题的各个方面,使得通过这道题,就像通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域”.当然,要做到这点,首先教师对试题的本身要有深入的研究,其次,对学生的课堂参与要给予足够的激励和引导.把课堂还给学生,倾听他们的声音,点燃他们的思维之火,让数学课堂成为师生向往的乐园！