过定点的旋转直线与圆锥曲线所成弦引出的取值范围问题

云南省昆明市第十中学(650011)蒋正拥

云南省昆明市实验中学(650011)习有丽

在对圆锥曲线知识考查中,求取值范围(最值)是一类常见问题,一个通用的模式就是引入变量构成函数,至于选择哪个变量来构成函数,关键是对动态过程特点的分析.如果是曲线上的动点,则选择点的坐标为变量,如果是过定点的动直线,那么一般选择直线的斜率(或倾斜角)为变量,下面就过定点的弦的弦长取值范围问题进行探讨,找到解决这类问题的常用的方法.

例(2016年新课标I理科第20题)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.

(I)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;

(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

分析第一问根据题意画出图形(如图1),由“|EA|+|EB|为定值”已经暗示E的轨迹是椭圆,且以A,B为椭圆的焦点,“圆”、“平行”这些关键词提示我们思考利用平面几何知识,易知|EA|+|EB|等于圆A的半径,这问比较简单,考查了椭圆的定义和几何意义.第二问注意到四边形MPNQ的两条对角线互相垂直,其面积要求四边形MPNQ面积的取值范围,关键是选择一个合适的自变量,将|MN|和|PQ|的长度表示为面积函数.此问题成了过定点的动直线与圆A和椭圆E所成动弦的弦长的取值问题,可设l的方程求解.

图1

解(I)如图1,因为|AD|=|AC|,EB//AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为:

评注此问源于人教A版课本选修2-1第49页习题2.2A组第7题,可以看成是引入椭圆概念的一种方式.

(II)方法1构建函数-以直线斜率k为自变量.

图2

图3

评注直线过定点B(1,0),可选取直线的斜率k为自变量,但需要考虑斜率k是否存在,把直线设为点斜式y=k(x-1)(k/=0).求直线与圆的弦长问题,应用圆的垂径定理处理计算较简捷;求直线与椭圆的弦长时,利用弦长公式来计算,在计算|x1-x2|时,往往有两种处理方法,一种方法是利用韦达定理来处理,另一种方法是利用根公式,对两根进行相减化简为来处理,比较起来第二种方法较为简捷.

方法2 优化运算-以直线斜率的倒数为自变量.

设直线l的方程为x=my+1,设M(x1,y1),N(x2,y2).联立方程组消去x得(3m2+4)y2+6my-0=0,得

下求|PQ|的长度:直线PQ的方程为y=-m(x-1),即y+mx-m=0,点A(-1,0)到直线PQ的距离为所以

四边形MPNQ的面积为

评注以直线斜率的倒数为自变量,注意到直线过定点B(1,0),可把直线方程设为横斜截式x=my+1,这样就可以回避对斜率k是否存在的讨论.

方法3 选取倾斜角α为变量-利用直线参数方程求解.设直线l的倾斜角为α(α/=0°),则直线l的参数方程是

因为α/=0°,所以cos2α∈[0,1),所以,四边形MPNQ面积的取值范围为

评注注意到直线过定点B(1,0),选取倾斜角α为变量,设直线l为参数方程(t为参数),利用直线参数t的几何意义进行求解.把弦长的取值范围问题转化以倾斜角α为变量的三角函数问题求解.

方法4 选取极角θ为变量–利用极坐标方程求解.

因为θ/=kπ,所以cos2θ∈(0,1],所以,四边形MPNQ面积的取值范围为

评注注意到直线过定点B(1,0),选取定点B为极点,建立极坐标系,利用极坐标ρ的几何意义进行求解.把弦长的取值范围问题转化以极角θ为变量的三角函数问题求解.方法3,方法4在计算|t1-t2|和|ρ1-ρ2|时,可以用方法1的两种方法来处理.除上面4种方法,还可以用椭圆第二定义求解,留给读者去思考.

大家可以用以上方法解决来解决2016年新课标II文科第21题,试题如下:

已知A是椭圆E:的左顶点,斜率为k(k＞0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.

(I)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;

(II)当2|AM|=|AN|时,证明:

(答案:(I)△AMN的面积为证明略)

综上所述,涉及直线过定点的旋转问题,可以选取直线的斜率(或倾斜角)为自变量,可以考虑用直线的参数方程来轻松解决,也可以选择定点为极点,建立极坐标,利用极坐标来解决,利用参数方程和极坐标是解决解析几何问题的重要方法.