考题因探究而精彩—一道模考试题的研究与拓展

陕西省西安市高新第三中学(710075)吕二动

陕西省咸阳渭城区西藏民族大学附属中学(712082)袁义东

题目(2017年咸阳三模试题)已知椭圆C:1(a＞b＞0)的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,且椭圆C的离心率为

(I)求椭圆C的方程;

(II)过椭圆C右焦点F的直线与椭圆C交于A、B两点,D为椭圆C的右顶点,AD、BD分别交直线l:x=3与M、N两点,求的值.

解(I)由条件知:F(1,0),解之得:故椭圆方程为:

在对此题评析后,笔者对此题第二问做了进一步的揣摩与研究,并将此结论推广为一般情况:

结论1 已知椭圆C:过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C交于A、B两点,D为椭圆C的右顶点,AD、BD分别交直线l:与M、N两点,则FM⊥FN.

通过探究也可对结论1进行如下的变式:

结论2 已知椭圆C:直线l与椭圆C交于A、B两点,D为椭圆C的右顶点,直线AD、BD分别交定直线:与M、N两点,直线l与x轴的交点为P点且PM⊥PN,则直线l恒过定点(c,0).

对于上面的结论1,结论2能否推广到双曲线,抛物线吗?答案是肯定的

结论3 已知双曲线C:过双曲线C的右焦点F的直线与双曲线C交于A、B两点,D为双曲线C的右顶点,AD、BD分别交直线l:与M、N两点,则FM⊥FN.

结论5 已知抛物线C:y2=2px,(p＞0).过抛物线C的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点,O为坐标原点,AO、BO分别交准线l:与M、N两点,则FM⊥FN.

结论6 已知抛物线C:y2=2px,(p＞0),不过原点O直线l与抛物线C交于A、B两点,O为坐标原点,AO、BO分别交准线l:与M、N两点,直线l与x轴的交点为P点且PM⊥PN,求证:直线l恒过定点

对于以上抛物线的结论的证明可以仿照椭圆和双曲线进行证明,具体的证明留给有兴趣的读者！

数学问题的思考,需要平时学习中的善于积累和勤奋钻研,只有通过量变达到质变,从而引起飞跃式的发展,熟练掌握一些有用的结论,考试时方能厚积薄发,达到“会当凌绝顶,一览众山小”的境界！