线性规划在利润最大化和成本最小化问题中的应用

滕莉

摘要：利润最大化和成本最小化是高中数学中的常见问题，需要使用线性规划方法进行求解。本文结合笔者自身的学习经历，对线性规划知识进行简单介绍，并分析其学习方法。在此基础上，集中探讨其在求解利润最大化问题和成本最小化问题中的应用，以期提高此类问题的求解速度和准确率。

关键词：线性规划；利润最大化；成本最小化

前言：线性规划知识具有较强的实用性。在经济社会中，企业的资源分配、市场策略制定等都需要利用线性规划知识。随着新课改的不断深入，教材和考试题目与生活实际的联系性越来越密切，我们在考试中经常会遇到求解利润最大化或成本最小化的问题，线性规划是求解此类问题的关键方法。因此，我们在平时的学习过程中，应对线性规划知识进行深入理解，并掌握此类题目的求解規律，从而在考试中从容应对，快速、准确的求解出答案，提高数学成绩。

一、高中数学中的线性规划知识及学习方法

1.线性规划知识概述

线性规划知识是一种求解优化问题的计算工具，在特定的资源约束条件限制下，通过线性规划计算，以最小的投入换取最大的回报，从而实现经济效益最大化。线性规划是我们求解此类问题的重要方法，其包含了许多重要思想，包括数形结合思想、转化思想等。学好线性规划知识可以提升我们的逻辑思维能力，使我们在解决实际生活中的问题时能够快速理清思路，采用正确的方法进行分析和计算。在高中数学中利用线性规划求解的问题主要包括不等式问题、函数转化问题、目标函数求解问题、整点问题等。其中，利润最大化和成本最小化问题属于在线性约束条件下求取目标函数最大值、最小值的问题，在约束条线下的解叫做函数的可行解，由其组成的域叫做可行域。在求解过程中，一般要列出约束条件，画出可行域，进而求出最优解[1]。

2.线性规划学习方法

鉴于线性规划知识的重要性，我们在学习过程中，必须扎实掌握线性规划的相关概念公式，采用灵活的学习方法，提高此部分知识内容的应用能力。笔者根据老师指导和自己平时的学习经验，总结出以下几点学习方法：（1）根据教材和提纲进行自学，以教材中的不等式为例，通过自行阅读，了解解集的求解过程，深刻认识解集代表的意义，并找到相关题目进行巩固练习，如果遇到难以理解的题目，要及时向老师请教；（2）与同学进行集体学习，分享在课堂和自学过程中遇到的问题，通过互测互评等方式，相互督促，共同进步，提高此类问题的解题能力；（3）充分利用各种学习资源，包括网络学习资源等，参加实践调查活动，提高线性规划知识的实际应用能力，从而在求解此类应用题时能够得心应手，结合实际情况进行分析和求解[2]。

二、应用线性规划求解利润最大化和成本最小化问题

1.求解线性规划问题的一般形式

最大利润和最小成本，是在经济活动中最常见的研究课题，是同一研究领域的两个不同数学模型，且都属于最优化模型。其中，最优化模型可以表示为Z=c1x1+c2x2+…+cnxn的形式，其中，x1到xn是决策变量，即探讨实际经济问题的未知变量，在决策系统中属于可控因素，Z是目标函数，c1到cn是价值系数。采用ax≥b表示一个约束条件，在经济管理问题中，限制因素可能是原材料供应、市场销售状态和产品质量等。在线性规划问题中，决策变量、目标函数和约束条件是其三要素。通常将线性规划问题用以下标准形式进行表示：

2.企业利润最大化问题的求解方法

在实际生产中，企业开展生产和销售活动的主要目的就是赚取利润，因此实现利润最大化是企业管理的核心目标。利润等于总收入减去总成本得到的计算值，如果总收入大于总成本，企业就会获得利润，反之企业则会亏损。利益最大化不仅是企业积极争取的目标，也是推动社会财富增长的重要动力，但要实现这一目标较为困难。采用线性规划方法可以帮助企业做出合理的统筹规划。

比如在实际问题中，企业采用A和B两种原料生产甲乙丙丁四种产品，其中A原料有18kg，B原料有3kg，生产1万件甲产品要消耗3kgA材料，生产1万件乙产品要消耗2kgA材料，生产1万件丙产品要消耗10kgA材料和2kgB材料，生产1万件丁产品要消耗4kgA材料和0.5kgB材料。甲乙丙丁四种产品的利润分别为9元/件、8元/件、50元/件、19元/件。

3.成本最小化问题的求解方法

最小成本求解问题的基本思路与最大利润类似，比如三种食物的维生素A含量分别为600单位/kg、700单位/kg，400单位/kg，维生素B含量分别为800单位/kg、400单位/kg和500单位/kg。其成本价分别为11元/kg、9元/kg和4元/kg。现要配置100kg混合事物，要求维生素A含量最少为56000单位，维生素B含量最少为63000单位，求最低成本。在求解时可以列出目标函数为C=11x + 9y + 4z，约束条件为600x+700y+400z≥56000800x+400y+500z≥63000 ，通过求解目标函数，可以得出x=50，y=20，z=30时，目标函数取得最小值，从而求出最小成本为850元。

结束语：综上所述，线性规划是求解最大利润和最小成本问题的关键方法，通过掌握线性规划知识的重点内容和学习方法，可以帮助我们找到解决此类问题的方法。在此基础上，掌握求解两种问题的一般解题形式，并结合实际问题进行具体分析，可以提高我们的实际解题能力。

参考文献：

[1]董悠.高中数学线性规划问题分析[J].科技创新导报，2017，14（04）：193-194.

[2]涂小琴.浅析高中数学《简单的线性规划问题》[J].快乐阅读，2012（22）：79.

（作者单位：湖南省常宁市第一中学 421500）endprint