高中数学复合函数定义域和值域学习中易错问题浅析

宿志强

（会宁二中，甘肃 会宁）

一、复合函数的定义、定义域和值域问题

抽象函数的定义：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现.

记函数v=F（u）的定义域为u1，函数u=f（x）的值域为u2，记则以D为定义域，以F［f（x）］为对应法则的函数v=F［f（x）］叫做D上的复合函数.

为叙述方便，构成复合函数的每一次复合步骤所形成的函数，可形象地称为该复合函数的一“层”函数，上述定义中的F（u）叫做f（x）的外层函数，u=f（x）叫做F（u）的内层函数或中间变量复合.

1.已知f（x）的定义域，求f［g（x）］的定义域

其解法是：若f（x）的定义域为a≤x≤b，则在f［g（x）］中，a≤g（x）≤b，从中解得x的取值范围即为f［g（x）］的定义域．

例1：已知y=f（x）的定义域为［-1，1］，求y=f（2x-1）的定义域.

解：由题意可知-1≤2x-1≤1，解得0≤x≤1，所以次函数的定义域为［0，1］.

2.已知f［g（x）］的定义域，求f（x）的定义域

其解法是：若f［g（x）］的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定的g（x）的范围即为f（x）的定义域．

例2：已知f（2x-1）的定义域为［-1，1］，求f（x）的定义域.

解：由于-1≤x≤1，解得-3≤x≤1，因此f（x）定义域为［-3，1］.

3.运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．

例3：若f（x）的定义域为［-3，5］，求φ（x）=f（-x）+f（2x+5）的定义域．

解：可知-3≤-x≤5，因此-5≤x≤3.同时，-3≤2x+5≤5，可得-4≤x≤0.

因此，φ（x）的定义域为［-5，3］∩［-4，0］=［-4，0］

4.已知函数f［g（x）］的定义域，求函数f［h（x）］的定义域

其解法是，先由f［g（x）］的定义域，求出函数f（x）的定义域，再由f（x）的定义域，求出函数f［g（x）］的值域.

二、对数函数的学习过程中，关于求对数函数与二次函数的复合函数的定义域和值域的问题

具体模型是，设函数f（x）=logm（ax2+bx+c）（a≠0，m>0，且m≠1），二次方程ax2+bx+c=0对应的判别式△=b2+4ac.

（1）若函数f（x）的定义域为R，则a>0，且△<0；

（2）若函数f（x）的值域为R，则a>0，且△≥0.

例5设函数f（x）=log2（ax2+3x+5），其中a≠0

（1）若此函数的定义域为R，求a的取值范围；（2）若此函数的值域为R，求a的取值范围.

解：（1）由于此函数是复合函数，所以可令f（x）=log2μ，μ=ax2+3x+5.f（x）=log2μ中μ>0，所以二次函数μ=ax2+3x+5的值域大于零，且x取遍所有实数，只需保证a>0，且△=9-20a<0.解得

（2）同理，可令f（x）=log2μ，μ=ax2+3x+5.则f（x）=log2μ，由于f（x）取遍所有实数，所以μ取遍所有大于0的实数.因此必须保证函数μ=ax2+3x+5与平面直角坐标系中x轴有交点.则对应的判别式 △≥0.即有a>0，且 △=9-20a≥0.即

练习

1.已知函数y=f（x+1）的定义域是［-2，3］，求y=f（2x-1）的定义域.

解：依题可知 x+1∈［-1，4］，从而 2x-1∈［-1，4］，解得此函数的定义域为

2.已知y=f（x）的定义域为［-1，1］，求函数的定义域.