一道不等式的评讲历程

季长征

（江苏省高邮中学，江苏 高邮）

在高三考试中经常遇到这类不等式，笔者尝试以专题的形式加以评讲，旨在从纷繁的解法中找到一些可以掌握的规律，提炼一些模型，帮助学生建构知识体系，提高学生的学习效率，本着以“以学生为主体，师生合作”的原则，和学生一起探索。

下面是一道原题“数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且成等差数列。（3）正数数列{cn}，令N*）。求数列{cn}中的最大项。”此题共有三问，我截取了最后一问，由第一问可知an=n，因此，要求数列{cn}中的最大项，即转化为研究数列{cn}的单调性，就变为证N*），笔者就如何用专题课讲解此不等式同大家一起分享。

师：该不等式是在什么条件下成立？是否有提示语在里面？

生1：大于等于3的正整数。

师：对，在遇到与正整数的有关命题，我们通常想到什么方法？

生1：数学归纳法。

师：下面请生1用数学归纳法完成此题。

生1：①当n=3时，34＞43，所以原不等式显然成立。

②假设当n=k（k≥3）时结论成立，即kk+1＞（k+1）k成立，也就是，则当n=k+1时，

生 1：（k+1）2＞k（k+2）由此得

即（k+1）k+2＞（k+2）k+1，故当n=k+1时亦成立，综上原不等式成立。

师：数学归纳法是一种由特殊到一般，从有限到无限思想的重要数学方法，是数学界的“多米诺骨牌”，此方法难点在想到用真分数性质，及如何运用好假设。学生解决此题能够体会数学归纳法的本质所在。

生2：老师，我觉得不等式nn+1＞（n+1）n（n≥3，n∈N*）右边是正数，所以我把右边除了过来，我下面没走下去。

师：你卡壳的地方是？

师：你是否尝试带大于等于3的几个数试一试的？

生2：老师我算过了，我想到了！它是一个递减数列。

师：那下面怎么处理呢？

师:数学解题过程是在曲折中前进的，遇到问题从而产生新的思路，在思维不断求变的过程中，学生认识问题的能力得以提高，解题能力得到锤炼。

生3：老师我也想到证明单调性，但开始时我就转化为研究函数的单调性，然后不知道怎么处理了。

这样的求导方式让很多学生觉得惊奇不已，我让学生4到黑板上演示了详细过程，班级的气氛再次热烈起来。

师：现在请生3继续完成吧。

师：生4用的知识我们暂时不会，大家想想我们就没有其他方法了吗？

班级一片寂静……过了一会儿，我看到学生一筹莫展，做了一点提示，我们能不能将函数变变形，将它变成大家熟悉的函数求导呢？

师:研究数列单调性时，注意不能直接求导，数列虽是特殊的函数，但它不连续，所以要转化为函数求导，当对求导遇到困难时，在将函数变为过程中体现的数学的化归思想，化未知为已知，化陌生为熟悉。

师：这时，我趁热打铁。常规方法你们都已经说了，而且讲的非常棒。现在我来问大家对这个函数熟悉吗？大家异口同声说：“熟悉。”那么我们能不能把这道题向这个方面转化呢？

当n+1＞n≥3时，f（n+1）＜f（n），得nn+1＞（n+1）n。

师：太棒了，将一道陌生的题目转化为我们大家再熟悉不过的题目了。要证此不等式nn+1＞（n+1）n成立，想到数学的对称性，把n+1和n各放在一侧，想到了两边取自然对数，从而领悟出数学知识的内在联系可以通过对题目的结构理解而产生，利用数学上结构的对称美产生了思维的火花。化未知为已知，化陌生为熟悉。

课堂教学要基于学生的“最近发展区”，使所有学生都有所发展，尽量利用课本后课中出现的一些好素材，同时根据教学目的，采取横向或纵向的发散，让问题落脚点在大家熟悉的区域，通过教师引导，师生共同探究，师生共同感受到数学的统一美和完整美，最终目的是学生探究感悟数学的精髓，培养学生分析问题和解决问题的能力。