求解三角形最值或范围的“数学素养”

■山东省淄博市沂源县第一中学 刘玉珍

三角中的最值或范围问题实质上是变量的一种不等关系,是高考重点考查的内容,它对“三角恒等变形、三角函数图像性质、正余弦定理的合理选用、构建函数模型,以及综合应用所学知识解决问题”的素养要求较高。解决这一类问题的基本途径：一是应充分利用三角函数自身的特殊性(如有界性);二是将三角中的最值或范围问题通过构建目标函数,转化为我们所熟知的求最值问题的思维方法。下面通过几道高考模拟题,对三角中的最值或范围问题求解中的“素养”作一归纳总结。

素养1：三角变换构建y=Asin(ωx+φ)+B的模型

例1 (2017年湖南省两市九月调研)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C的三条对边,且csinC-asinA=(b-a)·sinB。

(1)求角C的大小;

(2)求cosA+cosB的最大值。

解析：(1)由正弦定理角化边凑出边的齐次式表示角的余弦,因为csinC-asinA=(b-a)sinB,由正弦定理得c2-a2=b2-ab,即ab=a2+b2-c2,所以cosC=又因为C∈(0,π),所以

(2)利用内角和定理和题设条件降元构建正弦的复合函数求最值。

点击素养：形如y=asinx+bcosx的函数可以利用辅助角公式转化成y=a2+b2·sin(x+φ)的形式,再利用正、余弦函数的有界性求得最值,不是这种类型的可通过三角恒等变换变形为这种类型,本题利用题设和三角形的隐含条件降元变换得到。

素养2：借助余弦定理和三角变换构建三角函数模型y=Asin(ωx+φ)+B

图1

例2 (2017年第三

次全国大联考新课标卷Ⅰ)如图1,在四边形ABCD中,AB=1,BC=2。

(1)若∠B=∠D,且CD=DA=3,求B;

(2)若CD⊥AD且CD=AD,求四边形ABCD的面积S的最大值。

解析：(1)连接AC,在△ABC中,AB=1,BC=2,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=5-4cosB。

在△ACD中,CD=DA=3,由余弦定理得AC2=CD2+DA2-2CD·DAcosD=6-6cosD。

(2)四边形分解三角形构建其面积的目标函数,连接AC,则△ABC面积的S1=AB·BC·sinB=sinB。

由(1)得AC2=5-4cosB,又CD⊥AD且CD=AD,所以△ACD是等腰直角三角形,其面积为

所以四边形ABCD的面积S=S1+S2的面积S的最大值为

点击素养：四边形面积的最值,合理分割化归为两个三角形的面积,借助三角形面积公式构建目标函数,利用正余弦复合函数的有界性求解,其中合理引入角参数,借助正余弦定理表示其边长是求解的关键,如本题中选定B为主元,余弦定理表示AC2=5-4cosB沟通其关系。

素养3：巧设角参数构建y=Asin(ωx+φ)+B的模型

例3 (2017年第二次全国大联考新课标卷Ⅲ)如图2,已知扇形的圆心角∠AOB=,半径为22,若C为弧上的一个动点(不与点A,B重合),则四边形OACB的面积最大值为 。

解析：扇形中的有关问题,选圆心角为主元构建面积的目标函数。连接OC,并设∠AOC=θ,则∠BOC=

图2

点击素养：扇形的内接四边形面积的最值问题,巧设圆心角为主元合理分割化归为两个三角形的面积,借助三角形面积公式构建目标函数,利用正余弦复合函数的有界性求解,凸显三角的工具性、应用性及交汇性。

素养4：借助余弦定理构建二元变量模型用不等式求最值或范围

例4 (2017年原创押题预测卷01(新课标卷Ⅲ))在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,完成下列问题：

(1)若B=2A,求证：sinC=3sinA-4sin3A;

解析：(1)因为B=2A,所以C=π-3A。

所以sinC=sin(π-3A)=sin(A+2A)=sinAcos2A+cosAsin2A=sinA(1-2sin2A)+2sinAcos2A=sinA(1-2sin2A)+2sinA(1-sin2A)=3sinA-4sin3A,故sinC=3sinA-4sin3A。

点击素养：余弦定理的实质是用三边的二次齐次分式表示内角的余弦,于是,凡三边满足齐次的关系式降元代入余弦定理中可化归二元变量,用不等式总可以求得角的余弦的取值范围,进而求得角的取值范围,有兴趣的同学不妨试试,在△ABC中,满足下列之一的条件都可以推出结论：(1)a,b,c成等差数列 ;(2)a,b,c成等比数列 ;成等差数列。

素养5：借助正余弦定理和面积公式构建二次函数求最值

例5 (2017届浙江杭州地区重点中学高三上学期期中)在等腰△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD长为6,则当△ABC的面积取得最大值时,AB的长为 。

解析：依据等腰三角形的特征,选腰长为主元,表示出顶角的余弦,进而构建面积的目标函数,同二次函数区间上的最值求解。根据题意,设AB=AC=2x,注意构成△ABD的条件,则AD=x(2

点击素养：本题探究了 “等腰三角形中已知一腰中线的长度,可求等腰三角形面积最大值”的思维方法,其中利用几何性质选腰长为主元,利用余弦定理和同角关系表示顶角的正弦,进而构建面积的函数关系式,凸显了合理构建模型简化求解实际问题的数学素养。

素养6：构建“含角和三角函数”的模型用导数求解最值或范围

例6 (2017届江苏泰州中学高三上学期期中)图3所示的是太湖的一个角形湖湾AOB,∠AOB=2θ(常数θ为锐角)。拟用长度为l(l为常数)的围网围成一个养殖区,有以下两种方案可供选择：

图3

方案二：如图5,围成三角形养殖区OCD,其中CD=l。

(1)求方案一中养殖区的面积S1。

(2)求方案二中养殖区的最大面积S2。

图4

(3)为使养殖区的面积最大,应选择何种方案?并说明理由。

解析：(1)借助题设条件运用弧长公式建立函数关系。设OP=r,则l=r2θ,即r=,所

图5

(2)借助题设运用余弦定理与基本不等式求解。设OC=a,OD=b,由余弦定理得l2=a2+b2-2abcos2θ,所以l2≥2ab-2abcos2θ,所以,当且仅当a=b时,“=”成立。所以

(3)注意两个面积式子的分子相同的特点,取倒数作差构建含角和三角函数的新函数模型,运用导数的有关知识进行分析探求。

点击素养：选角为主元可构建“含角和三角函数模型”求最值或范围,注意角的取值范围,对目标函数求导研究区间上的单调性进而求得,这是常用的通法“简单且具有操作性”。