刚性转盘中的逻辑思考

（山东省滨州市实验中学 山东滨州 256600）

刚性转盘是描述相对论效应的一个模型，关于这个模型的争议一直不能平息，在这其中的一个问题是刚性的矛盾。大体上说就是这个模型以转盘为刚性为前提，而最后的结论却推出了转盘不是刚性的。我想在这里由一些已知的简单的相对论的推论对这个模型进行逻辑上的讨论，进而对这其中的刚性矛盾尝试进行解释。因为本文作者并未掌握高等数学的方法，所以没有进行深入的数学计算，这里主要是对这个问题的思考的过程，如果可能的话，希望能够给他人一些思路的扩展。

本文首先要对这个模型的理论基础进行介绍。众所周知，狭义相对论的一个效应，就是在相对一个物体运动的参考系看来，物体在相对运动的方向上会发生尺度收缩，但在同一参考系中不会出现这种效应。如果有一把尺子一端直对我们运动，在精确的观测下我们会发现尺子短了，但宽度不会变化。这是由光速不变原理推理而得的。相对论中的一些细微之处至今还存在争议，但在我们看来，相对论的建立的确实现了对我们世界的更精确的描述，所以有理由将相对论的推论作为后面推理的基础。

而刚性转盘模型是这样的，一个无其他作用影响的环境中，存在一个刚性的转盘，转盘边缘和外部分别有一个观察者，假设转盘表面静摩擦系数足够大使得转盘上的观察者一直能与转盘保持相对静止。现使转盘以一恒定角速度转动，在转动过程中让转盘上的观察者（甲）和一旁的观察者（乙）分别测量转盘的直径和周长。我们可以根据之前所叙的相对论效应来比较他们的测量结果。因为甲相对于圆盘静止不动，而圆盘边缘相对于乙沿切向运动，在乙看来，圆盘边缘的切线方向发生尺缩，所以甲沿圆盘一周测的周长会大于乙在一旁直接测得的周长。而转动的圆盘在半径方向上无分运动，故甲和乙测得的直径长度是一致的。而若在乙看来这个圆盘的圆周率周长比直径是π的话，因为甲测得的周长要更长，所以甲测得的圆周率要比π大。但如果圆盘是静止的，则甲和乙就处在了同一个参考系中，那么他们的测量数据就是相同的，甲测得的圆周率一定为π。但显然无论圆盘动不动，甲都相对于转盘静止，这两次的测量结果却不一样。而甲的两次测量的唯一区别，是圆盘转动时，甲受到了圆盘静止时所受不到的指向圆心的合外力，所以可以说是合外力的存在才使得两次测量结果不同，或者说使圆周率不为π。又因为在平面上，一个圆的圆周率一定为π，只有在曲面上的圆的圆周率才不为π，所以说圆盘转动时，甲的测量是在一个曲面而非平面上进行的。于是通过对比，我们得出了广义相对论的一个重要效应，即合外力使得空间发生弯曲。

而这其中的问题在于这个圆盘在变速时，比如从静止加速到某个角速度的过程中，若让甲不断测量，则他每一次测得的圆周率都不一样，也就是说，圆盘的圆周率不断变化，也可以说是形状不断变化。但是这个模型一开始便强调，转盘是刚性的，刚性的形状不会改变，那这个模型不就矛盾了么？

关于这个“刚体不刚”的矛盾的解释有很多，在这里本文希望从广义相对论的空间弯曲效应出发，去更正这个矛盾的推理过程，同时也从逻辑推理的方面去尝试解释这个模型的合理性。

首先，这个模型说明的是广义相对论的空间弯曲效应，而“空间弯曲”所造成的不仅仅只有使转盘的圆周率改变，应该是在这个空间区域内所有物理性质的改变。之前得出矛盾的推理中，推出矛盾的原因是“观测表明圆各个部分的相对位置发生了变化也就是形状发生了改变”，可是这里对观测数据的分析却并未考虑空间弯曲对“相对位置”这个概念的影响。既然“相对位置”这个概念也同时被弯曲了，那我们就不能根据观测数据的改变而得出相对位置的改变，既然不能得出这个前提，那这个矛盾的推出也就不能成立了。

但还需要对这种圆周率的变化进行合理解释。众所周知，人们现在可以直接通过观测光在引力场下的弯曲来得到广义相对论效应。在这个现象中，人们观测到光似乎并未走空间中两点之间的最短路径（沿直线），但如果我们去考虑引力场中空间的弯曲，则光仍然在走最短路径，只不过我们既可以说“直线”的概念被弯曲了（直线不再是最短路径），也可以说“最短路径”的概念被弯曲了（最短路径是曲线）。当然，这些弯曲只是相对于我们观察者所处的平稳空间来说的，于是，光还在走它所经过位置的空间中的最短路径。那么与这里的情形相似，圆盘加速转动时我们测得的圆周率不断变化，我们就可以想象到圆盘内部的某两个分子之间的相对位置似乎发生了改变。但若考虑到空间的弯曲，则这些观测结果不但不能说明它们的相对位置发生了改变，而应该是相对位置的不变。因为“相对位置”的标准也随着该处空间性质的变化而变化，既然加速过程中空间变弯，所以如果圆盘是刚体，那么我们的观测数据在我们所处的空间（未弯曲）的条件下的分析结果就应该是不断变化的，这样才能有圆盘的各个部分在它所处的变化的空间中相对位置的不变。所以我们看到的现象正是圆盘为刚体的前提，若是我们观测到圆盘的各个部分相对位置似乎没有改变，那才说明圆盘不是刚体。

这种概念的“弯曲”是怎样的呢？本文提出这样一种构想：一条线段上的两个端点之间的距离便是这条线段的长度，若果这条线段所处的空间发生了弯曲，则由于光不再沿我们所看到的直线传播，故在我们看来，线段变弯，两端点之间的距离便发生了变化。但这条线段什么变化也没有，所以在这片弯曲的空间中，两端点之间的距离并未改变，我们直接看到的两点之间的直线距离，在这个空间中并非最短距离。而空间弯曲程度越大，我们的测量结果和现实就相差越大，这就应该是甲在圆盘加速时测得的圆周率不断变化的原因了。

显然，我们在这里没有经过严密的数学计算来证明空间弯曲效应对于观测数据变化的抵消，所以在这里严格来说，我们做到的仅仅是否定了这个矛盾的存在，而并没有足够的证据证明这个模型中是否还有问题。

而事实上必须要说明的一点是，因为一开始静止时甲乙的测量数据都相同，测得的圆周率都为π，那么上述讨论的前提是以乙的测量数据一直为π为前提的。那为什么要这样选呢？其实，处在惯性系中的乙所测量的一直是圆盘在平直时空上的投影，所以按照对称性，乙测量的一直都是一个圆，所以乙测得的圆周率一直都是π。而这其中又有不少争论，故本文主要对这个模型中的“刚性矛盾”进行讨论，而其他的问题，还需要更多合理的解释。

上述的推理，用到的是对“空间弯曲”情形下的粗略分析，更多问题的解决应该还要靠对这种情形下的进一步探索才能实现。但通过这么多年相对论的科学成果来看，我们有理由相信这个模型的合理性，相信这其中的问题会得到更多科学的解释。希望文章中的分析过程能够对这个问题的思考者有所启发。