数字“1”的妙用

章立

摘要：数字“1”在我们学习过程中是我们接触最早的数字也是最简单的数字。随着知识的积累，我们不难发现，“1”有不同的用处。高中知识点繁多，题目灵活机动，而“1”是多功能的，扮演着重要的角色。 最常见的是在三角函数中的应用，不等式中的应用和多项式整除中的应用。许多与“1”有关的关系式，在数学解题时，常常可以将“1”转化成不同形式的关系式，从而把问题简单化。

关键词：三角函数;不等式;妙用

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1992-7711（2018）12-0121

一、数字“1”在三角函数中的妙用

在这个例题中有个暗含的条件就是毕达哥拉斯定理1=sin2α+cos2α，在很多题中都不会直接给这个条件的。

从上例我们可以看出和数字“1”有关的一些关系式经常和其他知识点联系起来，就像三角函数在数学中属于做题工具。有些题目借助这些关系可以让题目变得简单化。

二、数字“1”在不等式中的妙用

在高中數学中，不等式是重要的内容之一，而平均值不等式和柯西不等式又是不等式中的重难点。所以平均值不等式和柯西不等式是高中数学中的重中之重，而平均值不等式和柯西不等式与“1”有关的内容越来越多同样也越来越重要了。从近几年全国各地的高考试题中或者数学竞赛中与数字“1”有关的平均值不等式和柯西不等式的题目成了热点，同时出现的种类越来越多、难度不等灵活性也高了很多。应用的方法也越来越多，如：代换法又分成直接代换，变换条件再用代换法，还有创造条件再代换。一般直接代换的题目比较简单，现在大家越来越重视后两种代换的方法了。添项、拆项，添项的方法也有很多，有的是添加数字“1”，这有很多形式，加“1”再减“1”，减“1”再加“1”，乘“1”，除“1”等形式。拆项的方法主要表现在把“1”拆成几个数的和，或把“1”拆成几个数的乘积。在证明不等式时最常用的是放大缩小，在放缩的时要放缩适当，放得过大或缩的过小都很难使不等式成立。

有时若能巧妙利用“1”的代换，常常能使问题得以巧妙的解决。

这一题先利用任何数乘“1”等于其本身的特点，恰好可以用柯西不等式，然后判断等号是否成立，在求最后得数用到了代换，这题的方法比较综合。在证明不等式时要学会灵活应用，上例看似很复杂，但只要理清关系，适当的把“1”变形或者创造一个条件再转换，都能把问题简单化。

这一题先在根式内乘“1”，利用任何数乘“1”等于其本身的特点，恰好可以用均值不等式把根式放大，然后判断等号是否成立，在求最后得数用到了代换，这题的方法比较综合。在证明不等式时要学会灵活应用，例7看似很复杂，但只要理清关系，适当的把“1”变形或者创造一个条件再转换，再或者添“1”拆“1”，都能把问题简单化。从上述两题来看证明不等式一般需要多种方法，上述只涉及到一部分与“1”有关的证明方法，还有其他没有用到的方法，并不是这些不重要，在不同的题目中，“1”有不同的方法这些需要我们去探索，去发现，去挖掘。

三、“1”在复数中的妙用

“1”在实数中的应用有多种多样的，妙处更是形形色色的，在实数中有这么多的用处同样在复数中也有很多的用处。我们很熟悉-i2=1这个关系式，他是联系实数和复数的桥梁。下面我们讨论-i2用来代替1解题。

例：求2i的平方根。

解：因为2i=1+2i+i2=（1+i）2，所以2i的平方根是±（1+i）。

在实数中负数的平方根是不能求出来的，而在复数中是可以实现的，如：-1的平方根是±i。这一题并不是那种直接计算的，我们可以先试着加1再减1，然后把-1换成i2可以得到1-2i+i2，恰好是完全平方公式，这时候可以用完全平方公式开方就求出了-2i的平方根。

本文通过数字“1”在三角函数、不等式中的应用及在复数中的应用，都反映出了“1”的妙用，说明了“1”虽是一个很简单的数字，却有很多的用处。无论是添“1”还是把“1”拆开都巧妙地使用“1”来解决了问题，告诉我们在解决不同的问题是需要进行不同的变换。现在的数学学习越来越灵活，新课标的学习点就在“1”上，用“1”的巧妙方法轻易就解决了。解决这些问题需要发散思维，应灵活运用“1”的不同性质及一些与“1”有关的关系式，巧妙地解决问题。以上所谈论的数字“1”的作用只是冰山一角，只是起到抛砖引玉的作用，数学中还有大量与“1”有关的问题等待着我们共同发现。

（作者单位：安徽省芜湖县一中 241100）