挖掘数学文化功效 揭露数学概念本质

范叔旺

摘 要 数学文化体现了数学家的行为方式、思维方式和价值观念，是发展核心素养的主要途径之一。如果将数学文化渗透到日常教学中，是每一位数学教师都必须直面的问题。笔者依托“数系的扩充和复数的概念”教学设计与实施，对上述问题进行了探讨，取得了较好的效果。现将部分教学过程设计呈现如下。

关键词 数学文化;问题思路

中图分类号：G632                                                      文献标识码：A                                                  文章编号：1002-7661（2018）17-0207-01

一、概念引入

问题1：1545年，数学家Cardan在《重要的艺术》中出了这么一个题目：把10分为两部分，使其乘积为40。

他按照自己的习惯，设其中一部分为x，列出方程为x（10-x）=40。但求出的根令他大为不解，甚至感到有些恐慌。你知道这是为什么吗？

你认为 能作为“数”吗？它表示什么意义？

设计意图：一是引领学生重温历史，展示数学家Cardan研究数学问题的风采，激发学生的学习兴趣，让他们自己发现问题——在实数范围内无法做到，从而产生认知冲突;二是充分暴露数学家的思维过程，让学生体验数学家的科研精神，感悟数学的发现并不神秘，数学家也是从常规问题入手的。

问题2：根据已有经验，你认为该怎么解决Cardan的问题？回顾数系经历了哪几次扩充？每一次扩充分别解决了哪些问题？

设计意图：一是帮助学生重新建构数集的扩充过程，即自然数集—整数集—有理数集—实数集，并能提炼出数系扩充的一般原则。这是本节课知识的生长点。二是使学生从 出发，自然想到只要“负数开方”行得通。这样的方程就能解了。

二、概念形成

问题3：根据大家的想法，假设我们引进了一个新的“数”i，它服从i²=-1。我们希望对i能与实数一起进行加、减、乘、除等运算，这样，你觉得会产生哪些类型的“新数”？

设计意图：让学生自己“创造”出3i，-5i，2+3i，2-5i，……

追问（1）这些“新数”能用一种统一的形式表示吗？

追问（2）如果把实数与i进行加、乘后得到的“数”的集合记作C，那么实数集与集合C有什么关系？

设计意图：引导学生得出这种“新数”的一般符号表示 （其中 为实数），感受为什么把集合 作为实数集扩充后的新数集，并得出实数集R是C的子集。

三、概念固化

（1）复数的定义;（2）复数的表示;（3）复数的分类;（4）复数集。

问题4：阅读教材（人教A版《数学》（选修2-2）第103页第一、二自然段），复数的基本概念有哪些？

设计意图：由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形式，初步理解复数的概念，培养学生抽象概括能力。

问题5：形如 一定是虚数吗？那么什么情况下是实数？

设计意图：引导学生由实数 的不同取值对复数进行分类，从而深化复数的概念，突破本节课的重点。

问题6：请你说出下列集合之间的关系：N，Z，Q，R，C。

教师结合PPT简单介绍复数的发展历史：1545年意大利数学家“怪杰”Cardan第一次开始讨论负数开平方的问题，当时复数被他称为“诡辩量”;1637年，法国数学家笛卡儿才给这种虚幻之数取名为“虚数”;1777年欧拉说这种数只是存在于“幻想之中”并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示他的单位;1801年德国数学家高斯给出了复平面的点表示复数，使之通行于世。

设计意图：通过向学生介绍复数的发展史，说明虽然现在看来简单的数系，但它的发展却历经艰难与艰险。数学的发展如同数系的发展一样需要几代数学家历经长时间的努力才能得到完善，通过暗线的设置顺利地完成了本节课的情感、态度与价值观的教学目标。

四、教學反思

本节课的主要数学思想方法是类比。首先，类比“自然数—有理数—实数”的扩充过程，教师从数学概念体系的发展要求和解决实际问题的需要出发，阐述数系扩充的历史、原则与方法，引导学生从实数及其运算中得到启发，自然地提出数系如何扩充、扩充应研究哪些问题。其次，指导学生类比方程x²-2=0来解 。再次，指导学生类比 探讨 。本节课的另一种数学思想是分类。教师指导学生对复数进行分类，在复数范围内分类解一元二次方程 。学生在思考与研究数学问题的过程中，自然受到数学文化的熏陶。

在概念引入环节，教师通过问题1—问题3的设置，从学生已有的知识基础出发，再现历史上数学家Cardan的问题，让学生经历与数学大师一起发现问题、思考问题、解决问题的过程，感受数学大师就在自己的身边，数学大师并不神秘，他们也曾有解不开的难题;在虚数单位i引入环节;让学生追随数学大时代足迹一步一步接近复数与虚数，慢慢地揭开复数与虚数的神秘面纱。小小的“i”经过了两个世纪的努力才被人们接受。数学发现并不神秘，大师们通常是在别人习以为常的现象中发现新问题并穷追不舍。

参考文献：

[1]张敏.认识数学文化挖掘数学文化渗透数学文化[J].科学咨询（科技·管理），2016（3）：113.