“同构”的对称思维是数学解题中的最关键最必要的共同素养

宁夏固原市第一中学 林海平

在中学数学教学以及解题过程中“，同构”的对称思维模式往往自然地使师生产生“共鸣”，潜移默化地沟通了师生学习模式，并且使得知识内容让学生更加容易接受，甚至使得学生能够自主理解推导。尤其在恒等式变形过程中，左右结构对称的“同构”指导原则，可促进学生实施对称变形、单方变换、对应跟进、快捷转换实现数学迅速简化、准确到位的理想状态。

一、单方变换

1的代换，等常数代换，往往是跟随已知式选择同构式的构造。比如，logax-1=0可以同构 logax-logaa=0=loga1，所以

二、对称变形

例1 在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形是( )

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.直角或等腰三角形

分析：在△ABC中，将已知的等积式a2tanB=b2tanA变形为比例式，对称化归为左 a，A右 b，B的形式，即由正弦定理及切化弦，得所以，故选D.

三、对应跟进

分析：观察已知式左、右两边结构特点，其右边可分离常数1，如此左右同构配凑，左边亦可分离出常数1，可使得左右结构对称，迅速简化，由正弦定理及切化弦，再由通分、和角公式等变形得有关角 的等量关系。

教学案例 圆锥曲线的参数方程的“同构”教学辅助

分析：利用cos2α+sin2α＝1与椭圆方程“同构”的结构特点，对应变形椭圆方程为，选择 φ作为参数，令=sinφ，得椭圆的 参 数 方 程 为（φ为参数）。即椭圆（a＞b＞0）上任意一点 M（x，y）的坐标又可以假设为 M（acosφ，bsinφ），φ∈[0，2π）。

对于抛物线 y2=2px，（p＞0） 上任意一点M的参数坐标可以通过左右同构自然推导。观察y2=2px，左边为一个完全平方数，可令x=2pt2使右边也配凑为完全平方数（2p）t，2即引入参数t，又关注x，y的取值

四、快捷转换

点i在哪儿？学生经常在一些细节处犯糊涂。本质核心在于任意复数都可以统一为同样的代数表达结构：z=x+yi（x∈R，y∈R）。又一一对应点Z（x，y），所以由z=i=0+1i知点 i的坐标为（0，1），即点 i在虚轴上。

数学本质是数学建模、渗透的数学思想，主要是转化、化归思想。“同构”的对称思维模式教给学生学习数学的看法、方法和办法以及探究的手段。利用同构，凸显问题背后的基础知识的本质，就能触类旁通地以一当十，自然提升学习者的解题效率。

“同构”是所有学生都应具备的学习数学的共同素养，是最关键、最必要的共同素养。