高中数学函数值域求法探究

但汉光

（重庆市合川瑞山中学，重庆）

一、配方法的解题方式

不同的函数有不同的求值域的方法，在面对一个函数的时候，抓住这个函数的特点，选取正确的解题思路，这样做题不仅效率高，而且准确。当所求函数是一个二次函数或者可以化成二次函数的复合函数的时候，可以利用配方法进行解题。这其实就是y=ax2+bx+c（a≠0）或者F（x）=a［f（x）］2+bf（x）+c（a≠0）这样形式的函数。

这道题的解题思路就是将根号中被开方的数变成一个平方数，再利用这个二次函数的值求出函数值域。将根号当中的-x2-6x-5设为函数A，则原来的y就变为把A进行配方，得出所以得到 0≤A≤4，因而［0，2］，最后就得出答案的值域是［0，2］。

在对函数的值域进行求解的时候，不仅仅要注意对应关系的应用，同时也要注意定义域和值域之间制约的关系，配方法是一种思路，也是一种思维方法。

二、利用判别式的解题方法

函数三要素为函数的定义域、值域和对应法则，定义域和值域对函数有很重要的决定作用，通过定义域和对应法则可以确定值域的范围。对于值域的求解是高中数学学习中的重点和难点，在面对题目所给函数可以化成关于某个变量的二次方程的无理函数或者分式函数的时候，利用判别式“△”进行值域的求解是一种很好的方法。这就要求这个所给函数的形式应该是分数的形式，分子和分母都是二次式而且没有公约式，分母的二次项也不可以是0，函数的定义域需要是R，这样的函数的一般形式就是

这道题目的思路就是将这个分式函数化为等式，讨论x2的系数是否是0，从而进一步得到y的范围，也就是所要求的函数值域的范围。由题目得到yx2+yx+y-x-1=0，则对于yx2+（y-1）x+y-1=0这个式子一定有实数根。当y=0的时候，-x-1=0，得出x=-1；当 y≠0 的时候，（y-1）2-4y（y-1）≥0，综上所述，得到这就是题目所要求的值域的范围。

将函数的关系变成二次方程，因为方程是有实数解的，所以它的判别式是一个大于等于0的非负数，从而可以进一步求出函数的值域范围。

三、利用数形结合画出图象进行解题

大多数函数都有能够画出来的图象，图象能够直观地表现出函数的特点，数形结合的方法就是将函数的问题转化变成图象问题、几何问题，让思路变得更加清晰，更加容易理解，从函数的图象中得到函数的值域。在面对有很强的几何意义的函数的时候，可以利用这种数形结合的方法来进行解题，就好比看到这个式子表示的是（x1，y1）和（x2，y2）两个点连线的斜率。

比如，看这样一道数学题目：求出函数y=|x-1|+|x+4|的值域。

这道题目的思路就是将这个函数变成分段函数，画出图象。将题目所给的函数变为分段函数，得到y=-2x-3（x≤-4）、y=5（-4＜x＜1）、y=2x+3（x≥1）三个式子，将这三个函数用图象表示出来得到y≥5，所以，题目所给的函数的值域是y∈［5，+∞）。

对于分段函数绘制图象的时候，要注意函数的端点是否有取值，利用函数表示的图象得到函数值域的范围，彰显着数形结合的思维，是解决这一类问题的一种重要的方法。

四、利用不等式进行求解

构造可以利用基本不等式使用条件的函数形式，利用不等式进行解题，不仅仅体现在这样的题目当中，数学中还有很多题目都需要这样的解题思路。

综上所述，在现当代教育模式的大背景下，高中数学教师在进行函数值域的教学过程中，要坚持做到以上几大方面，从而提高学生的数学素养，加强他们数学函数的应用能力，在提高教师自身教学水平的同时，也让学生的高中数学学习生活充实且富有意义。