课堂教学中渗透数学思想方法谫论

数学是思维的种子，数学的思想与方法是数学的灵魂与精髓。在数学教学中，我们通过引导学生掌握数学的思想方法，来培养良好的思维方式，进而培养良好的生活或生存方式。对数学思想方法的教学是目前课堂教学中的一个薄弱环节，教师重视知识的讲授与训练，而往往忽视了数学思想与方法的渗透和拓展，学生习惯于机械模仿，自然就会陷入无法灵活解决问题的窘境。只有注重数学思想与方法的传授，才能让学生看到数学知识产生的历史或者重现过程，而非没有生命的生硬的数学知识；才能让学生真正理解有关的数学内容，而不是似懂非懂，生搬硬套；才能让学生不仅真正掌握基本的事实或数学知识，更能去感悟、生成并自主运用蕴含在知识内的数学思想方法。

一、初中数学的主要思想方法

初中阶段是逻辑思维能力培养的重要阶段，通过数学思想方法的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高，也为高中阶段的数学学习奠定良好的基础。

1.函数与方程思想

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型 （方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程 （组）或不等式 （组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

函数是中学数学的重要内容之一，函数的思想和方法已渗透到数学的各个方面，解题时，若能注意用函数的观点考虑问题，借助函数的性质来处理，常可使问题化难为易。

2.转化与化归思想

化归思想，就是在研究和解决有关数学问题是采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题，将难解的问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。转化与化归常用到的方法有：直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、类比法等。

3.分类讨论思想

所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥 （没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

4.数形结合思想

数形结合思想是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易，化繁为简，从而得到解决。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一，要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二，是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三，正确确定参数的取值范围。

二、如何在课堂教学中渗透数学思想方法

1.通过数学史来介绍数学思想方法

数学史是研究数学发生发展及其规律的科学，包含数学内容和思想方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及对人类文明所带来的影响。要想弄清数学概念、思想方法，就要建立对数学的整体认识，以数学史作为素材进行指导，给学生以启迪和明鉴。

在学习直角坐标系时，可先介绍一下笛卡尔坐标系的由来：据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把 “点”和 “数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找出一点P与之对应，同样道理，用一组数 （x、y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以有用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。通过这一史实，不但能激发学生学习热情，还能渗透数形结合的思想。

2.在基础知识的教学过程中，适时渗透数学思想方法

对于数学来说，知识发生的过程，也就是思想方法发生的过程。数学概念的形成、公式的推导、方法的思考、问题的发现、规律的揭示、例题求解等过程都蕴含着基本的数学思想和数学方法，我们可以利用这个过程让学生学习和发展数学基本技能，培养和锻炼各种能力，形成数学思想和数学观念。

（1）如在进行绝对值概念教学时，课本是直接给出定义，而学生往往无法理解，只能照搬硬套。每每做题时，心里默念：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。简单练习还好，要是碰上含字母的代数式，麻烦就来了，死活搞不明白怎么去掉绝对值。如果我们能利用数轴来理解绝对值的概念，那就简单了。绝对值就是某个实数所表示的点到原点的距离，强调它的几何意义，学生通过数形结合的思想，能更好地领会概念的本质；又如：通过一元二次函数最值的教学使学生了解 “配方法”。

（2）如在进行 “多边形内角和”的教学中，可先让学生回顾和探究三角形和四边形的内角和是多少，然后类比研究五边形、六边形、七边形……n边形的内角和，通过这样的过程，学生逐步领略到将n边形转化成若干个三角形来求解，通过类比、归纳、猜想的数学思想和方法来得到规律。

3.解题过程中运用和训练数学思想方法

在解决问题时，学生往往需要用划归的思想方法将陌生、复杂、抽象的问题转化成熟悉、简单、具体的问题。因此，我们在教学中要突出数学方法在解题中的指导作用，展现数学方法的应用过程。如： “有一块矩形空地ABCD，已知AB＝8，BC=2，在AB、AD、CB、CD上依次截取AE=AH=CF=CG，得到一个平行四边形的场地进行绿化，点E在什么位置时，四边形EFGH的最大面积是多少？” （GM为四边形的高）

这道题先和学生一道分析出直接求四边形的面积难度较大，故可将问题转化为求四个直角三角形面积之和的最小值，本过程中充分体现了划归、函数、数形结合等思想方法。

4.在小结复习过程中提炼数学思想方法

一节课或一个单元学完后小结，期中、期末、中考前要复习。由于同一内容可蕴含几种不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的基础知识之中，教师通过小结和复习及时进行强化刺激，帮助学生将零散的知识形成系统有序的知识网络，并巩固重点内容，提炼数学思想和方法。学生的知识有了联系和沟通，需要提取和运用时将更为高效，从而能够改进和完善学生的数学认知结构。如“一元二次方程”这一单元涉及建模、估计、降次、转化、划归、类比等一系列重要的数学思想方法，复习小结时可配合知识点和典型例题强化训练。

在数学教学中，发展思维能力是教育的核心。观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎、类比等数学思想方法体系中重要的科学认知方法，是数学思维结构的主要组成部分，只有加强数学思想方法的训练，才能优化思维结构，从而提高学生的思维能力。虽然并不一定能通过几节课或是短时间让学生掌握相应的数学思想方法，但只要大胆尝试，坚持不懈，总会产生潜移默化的效果，学生对问题的理解和思想方法的运用也一定会达到新的高度。

[1](日)米山国藏著.毛正中,吴素华 译.数学的精神、思想与方法[M].成都:四川教育出版社,1986.