挖掘问题潜能，提高解题能力

王永明

【摘要】 从教材问题入手，通过增删条件、变换结论、逆向思维等手段对问题进行一系列的变式，不断挖掘其潜能，在锻炼学生思维的灵活性、开放性和创造性的同时使学生体会到问题与问题的区别与联系，从而发现解题规律，掌握解题的技巧.

【关键词】 问题;变式方式;解题能力

在数学教学中，教师应认真钻研典型问题，挖掘其潜能，通过问题的变式，增强问题的辐射功能，真正做到举一反三，触类旁通，从而提高学生解题能力.

一、问题来源

当k取什么值时，一元二次不等式2kx2+kx- 3 8 <0对一切实数x都成立？（高中数学必修5第103页A组第3题）

解  原题等价于二次函数y=2kx2+kx- 3 8 的图像恒在x轴下方，则 2k<0，Δ=k2+3k<0，  解得-3<k<0，

∴当-3<k<0时，一元二次不等式2kx2+kx- 3 8 <0对一切实数都成立.

二、问题变式

（一）变式1：删减条件

不等式2kx2+kx- 3 8 <0对x∈ R 恒成立，求k的取值范围.

解  当k=0时，原不等式可化为- 3 8 <0，恒成立，

∴k=0满足题意.

当k≠0时，原不等式为一元二次不等式，即原问题，故有-3<k<0.

综上：k的取值范围为（-3，0].

评注：条件由“一元二次不等式”弱化为“不等式”，故需对二次项系数k加以分类讨论.

（二）变式2：增设条件

一元二次不等式2kx2+kx- 3 8 <0对满足-2≤x≤2的所有x都成立，求k的取值范围.

解  （1）当k>0时，二次函数f（x）=2kx2+kx- 3 8 的图像开口向上，且对称轴x=- 1 4 ∈[-2，2]，由图1可知： f（-2）<0，f（2）<0 k< 3 80 ， ∴0<k< 3 80 .

（2）当k<0时，二次函数f（x）=2kx2+kx- 3 8 的图像开口向下，且对称轴x=- 1 4 ∈[-2，2]，由图2可知： f - 1 4  < 0k>-3，∴-3<k<0.

综上：k的取值范围为（-3，0）∪ 0， 3 80  .

评注：条件由“对一切实数x都成立”强化为“对满足 -2≤ x≤2的所有x都成立”，借助二次函数的最值加以讨论.

（三）变式3：变换结论

函数y=log 2 2kx2+kx- 3 8  的值域为 R ，求k的取值范围.

解  要使函数y=log 2 2kx2+kx- 3 8  的值域为 R ，则真数2kx2+kx- 3 8 必须取遍一切正数，

令f（x）=2kx2+kx- 3 8 ，由图3可知： 2k>0，Δ=k2+3k≥0  k>0，∴k的取值范围为（0，+∞）.

评注：变换结论，让学生明确问题之间的内在联系，体现了数学解题中常用的化归思想.

（四）变式4：逆向思维

不等式2kx2+kx- 3 8 <0对满足-2≤k≤2的所有k都成立，求x的取值范围.

解  原不等式变形为（2x2+x）k- 3 8 <0.

令g（k）=（2x2+x）k- 3 8 ，则g（k）<0对满足-2≤ k≤ 2的所有k都成立.

（1）当2x2+x=0，即x=0或x=- 1 2 时，原不等式可化为- 3 8 <0，恒成立，∴x=0或x=- 1 2 满足题意.

（2）当2x2+x≠0，即x≠0且x≠- 1 2 时，g（k）为k的一次函数，由图4可知： g（-2）=-4x2-2x- 3 8 <0，g（2）=4x2+2x- 3 8 <0-2- 10  8 <x< -2+ 10  8 ，

∴ -2- 10  8 <x< -2+ 10  8 ，且x≠0且x≠- 1 2 .

综上：x的取值范围为  -2- 10  8 ， -2+ 10  8  和x=0或x=- 1 2 .

評注：问题的条件与结论相互变换，通过逆向思维，使用变更主元的方法，将原题转化为函数g（k）的问题，简化解题过程.