构造法在高中数学中的应用

冯熙源

【摘要】 《普通高中课程方案和标准》（2017版）要求高中数学的教学尽可能地教给学生分析问题、解决问题的方法，使学生能够熟练运用数学方法解决问题.高中数学知识难度大，解题方法多，这就要求我们在教学中积极采用科学有效的方法提高学生解决问题的能力.构造法是实现问题转化最富有活力的方法之一，也是数学教学中培养学生创造性思维的重要方法.本文主要针对高中数学课程中的求解数列通项公式、几何最值和导数问题三个方面，提出采用构造法来解决上面三个问题.通过构造法的应用，解决了高中阶段学生针对数列通项不好找出规律问题，以及在求几何最值及导数压轴题不好解决的问题.

【關键词】 构造法;通项公式;最值;辅助函数

所谓构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，以此促成命题的转换，产生新的解题方法.构造法的核心是构造，要善于将数与形相结合，将式与方程、函数、图形等建立联系，构造出新的数学形式，如方程、函数、图形等，在各种数学形式间找出相互的关系，在解题中被广泛应用.同时也是实现问题的转化的重要方法，已经渗透在数学各个领域.

一、构造法在求解数列通项公式中的应用

在历年高考中出现多次利用线性递推关系式求通项公式的问题，在大学数学专业所开设的“组合数学”课程中有完善的解决方法，但鉴于高中的学习情况，这种方法不适合高中学生.同学们会想到用数学归纳法解决这个问题.但是通过计算数列的前几项，很难找出规律，而且对于文科考生，数学归纳法不是必修内容.我们采用构造法来解决这个问题.

例1   a 1=1，a  n+1 =2a n+3，求数列{a n}的通项公式.

解析  （1）构造等比数列a  n+1 -t=2（a n-t），即a  n+1 =2a n-t，解得t=-3，故递推公式为a  n+1 +3=2（a n+3）.

令b n=a n+3，则b 1=a 1+3=4，且 b  n+1  b n = a  n+1 +3 a n+3 =2，

所以{b n}是以b 1=4为首项，2为公比的等比数列.

所以b n=4×2 n-1 =2 n+1 ，即a n=2 n+1 -3.

例2   设数列{a n}的前n项和S n= 4 3 a n- 1 3 ×2 n+1 + 2 3 （n=1，2，3，…），求通项a n.

解析  当n=1时，有a 1=S 1= 4 3 a 1- 1 3 ×4+ 2 3 ，解得a 1=2，

a  n+1 =S  n+1 -S n= 4 3 a  n+1 - 4 3 a n- 1 3 （2 n+2 -2 n+1 ），

整理得a  n+1 =4a n+2 n+1 .

构造等比数列：a  n+1 +t·2 n+1 =4（a n+t·2 n ），解得t=1.

所以a  n+1 +2 n+1 =4（a n+2 n ），

所以数列{a n+2 n }是公比是4的等比数列.

于是a n+2 n =（a 1+2）·4 n-1 ，所以a n=4 n -2 n .

评析：在求解数列通项公式的问题中，经常会遇到既非等差，又非等比数列的求解通项公式问题.由于文科考生没有学习数学归纳法，本文采用构造法求解，避免了用数学归纳法进行求解.

二、构造法在求解高中几何最值问题中的应用

与几何有关的最值问题构造出新的长度

例3   已知实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=0.求：

（1） y x 的最大值和最小值;

（2）y-x的最大值和最小值;

（3）x2+y2的最大值和最小值.

解析  （1）求 y x 最值问题，可以构造成求 y-0 x-0 的最值问题，即求圆上的点与原点（0，0）连线的斜率的最值问题.

方程x2+y2-4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以 3 为半径的圆.

设 y-0 x-0 =k，即y=kx，

则圆心（2，0）到直线y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大值和最小值.

由 |2k-0|  k2+1  = 3 ，解得k2=3，所以k  max = 3 ，k  min =- 3 ，

即 y x 的最大值为 3 ，最小值为- 3 .

（2）令y-x=b，构造出y=x+b，求y-x的最大值、最小值，就是求y=x+b在y轴上的截距的最大值和最小值.

当直线y=x+b与圆相切时截距取得最大值和最小值.

即 |2-0+b|  2  = 3 ，解得b=-2± 6 .

所以y-x的最大值为-2+ 6 ，最小值为-2- 6 .

（3）x2+y2=（x-0）2+（y-0）2，求x2+y2的最大值和最小值，构造成求圆上一点到原点距离的平方的最大值和最小值.由平面几何知识可知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.

又圆心到原点的距离为 （2-0）2+（0-0）2 =2，

所以x2+y2的最大值为7+4 3 ，最小值为7-4 3 .

【参考文献】

[1]赵杰.高中数学解题中“构造法”的应用探讨[J].华夏教师，2014（12）：28.

[2]李松岩.例谈构造法在解题中的应用[J].中学生数学，2018（1）：40-41.

[3]朱丹娟.浅谈构造法在初中数学解题中的运用[J].数学学习与研究，2017（20）：154-155.

[4]孙建.巧用“构造法”解高中数学题[J].语数外学习（高中版下旬），2017（4）：44.

[5]冯立坤，刘影.构造法在中学数学解题中的应用[J].数理化学习（高中版），2015（10）：18-19.