一道高考试题的解析与感悟

云南省昆明第一中学 王在方

立足于解题研究是教师快速提高业务能力的有效途径之一，也是优化教师课堂设计，提高课堂效益的重要手段。

试题来源：2018年高考数学全国卷(Ⅲ)16题，题目：已知点M(-1 ,1)和抛物线C∶y2= 4x过C的点且斜率为k的直线与C交于A,B两点，若 ∠AMB= 9 00，则k=____.

一、解法视角呈现

1.解析几何视角

解得k=2.

2.平面几何视角

解法③：如图所示,设F为焦点,取AB中点P,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H连接MF,MP, 因为

所以MP为直角梯形BHGA的中位线,所以所以

3.平面几何与解析几何结合的视角

解法④： 如图所示,设F为焦点,取AB中点P,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H

所以MP为直角梯形BHGA的中位线,

4.圆锥曲线常用结论的视角

定理1 以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切。

5.圆锥曲线常用计算技巧的视角

解法⑥：取AB中点P，由抛物线C的焦点为(1,0),

6.圆锥曲线极点和极线的视角

极点与极线是射影几何中研究圆锥曲线内在性质的基本理论,各地的高考试题中以此为背景的题目屡见不鲜.虽然在高考课标中没有要求,但作为圆锥曲线的一种基本特征,教师了解一些极点、极线理论,可以从较高的观点去把握试题,有利于中学教学.对于学生,掌握一些基本的结论,有利于降低一些圆锥曲线大题的计算难度,对有些圆锥曲线小题,会有非常简洁的处理方法,在高考过程中能节约宝贵的考试时间.

（2）极点和极线的基本结论

定理2 ①当P在圆锥曲线r上时，则极线l是曲线r在点P处的切线；（限于篇幅，证明略）

②当P在圆锥曲线r外时，则极线l是曲线r从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）。（限于篇幅，证明略）

③当P在圆锥曲线r内时，则极线l是曲线r过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹。（限于篇幅，证明略）

定理3 设AB为抛物线的焦点弦，则过切点A,B的的切线的交点轨迹是它的准线；反过来，由抛物线的准线上任一点引抛物线的两切线，切点为A、B，则AB为焦点弦。

定理4 抛物线的两条互相垂直切线的交点的轨迹是它的准线；反过来，由抛物线的准线上任一点引抛物线的两条切线互相垂直。

二、解法评析

解法①②综合利用向量，直线与圆锥曲线位置关系，通过联立方程，韦达定理建立直线斜率k的方程，得到k=2，方法常规简单，易于想到，属于通性通法，但计算量偏大；解法①与解法②主要区别在直线方程的设法，主要考虑抛物线的开口方向，在很多问题中，计算量有明显差距；解法③利用抛物线的定义，梯形ABHG的性质，三角形全等的证明得到MF⊥AB,从而得到k=2，计算量非常小，但平面几何的知识要求较高；解法④是平面几何与解析几何的综合运用，是解法②③的综合；解法⑤利用抛物线以焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切的结论直接得出yP=yM=1,从而解出k=2，大量的减少了论证过程；解法⑥运用圆锥曲线中点弦问题中的点差法，通过两个方程相减，得到直线斜率与弦中点坐标间的关系，即再由解法⑤可得从而快速的出k=2；解法⑦运用极点与极线的理论，一步可以得出答案，这是最快的一种方法。