一类带p-Laplacian算子分数阶微分方程边值问题正解的存在性

王文倩， 周文学， 孙 芮

(兰州交通大学 数理学院,兰州 730070)

分数阶微积分在数学上已有很长的发展历史，现如今已在诸多领域得到了广泛应用。[1-6]近年来，对带p-Laplacian算子的整数阶微分方程的研究取得了很大进展，但整数阶微分方程在实际应用上具有一定的局限性，为了解决现实中越来越多的复杂的现象和问题，许多专家和学者开始逐渐深入学习和研究带p-Laplacian算子的分数阶微分方程。[7-12]

2010年，王金华和向红军在文献[13]中用上下解方法证明了边值问题

正解的存在性。其中1<α,γ<2,0

2014年，Ertao Zhi 和Xiping Liu在文献[14]中研究了边值问题

正解的存在性，其中0<ξ1ξ2<1,2<α<3,1<β<α-1<2,0<λ1,λ2<1。

2016年，孔德琼，马德香在文献[15]中讨论了边值问题

正解的存在性,其中λ>0,f:(0,)→(0,+)连续，2<α3,1<β2,α,β为实数。

受到上述文献的启发，文章主要利用Guo-Krasnoselskii不动点定理研究边值问题

(1)

正解的存在性，其中，1<α2,2<β3,α,β是实数，0<ξ,η<1,λ>0,f:(0,)→(0,+)是连续的。

1 预备知识

引理1.1[7]假设α>0,若u∈C[0,1]∩L[0,1]有α阶Riemann-Liouville导数，则

其中N为大于或等于α的最小整数。

引理1.2[16]令h∈C[0,1],则边值问题：

(2)

存在唯一的解u∈C2[0,1],u(t)可表示为

其中

引理1.3令y:[0,1]→R连续，那么边值问题：

(3)

存在唯一解，其中2<β3,β是实数，

其中

证明：由引理1.1可知

由(3)中边界条件可知

因此

引理1.4令h:[0,1]→R连续，那么边值问题：

(4)

存在唯一解，其中3<α4,α是实数，

其中

证明：由题意可得

由(4)中边界条件可知

因此

引理1.5令f∈C[0,1],考虑下面边值问题：

(5)

证明：由引理1.2，引理1.3和引理1.4可得边值问题的解为

引理1.6[15]当3<α4,2<β3时，函数G(t,s),H(t,τ)的性质为：

(1)对任意的τ,s,t∈[0,1],有G(t,s)≥0,H(t,τ)≥0;

引理1.7[16]假若0<η<1,0<ξ<1,h∈C[0,1],则K(t,μ)在[0,1]×[0,1]上连续且有以下的性质：

(1)K(t,μ)>0,(t,μ)∈[0,1]×[0,1];

(2)K(1,μ)K(t,μ)K(μ,μ),(t,μ)∈[0,1]×[0,1];

引理1.8[11,15]φ:R→R为非减奇函数，ψ1,ψ2为非减同胚映射满足：

(1)当x,y>0时，存在ψ1(x)φ(y)φ(xy)ψ2(x)φ(y);

(2)在(1)成立的条件下，∀x,y∈(0,)时有，φ-1(xφ(y))

引理1.9算子T:P→P为全连续算子。

可得，Tλu(t)(P)⊂P，也即Tλu(t):P→P为全连续算子。

2 主要成果

为了论述方便，给出以下记号：

定理2.1当F=+,f0=0时，存在，若满足条件

F

那么取ε>0,使得对任意λ满足

成立，则边值问题(1)存在正解。

证明：将证明分为两步：

f(u)(f0+ε)φ(u),

若u∈P,‖u‖=ρ1,可得

‖Tλu(t)‖

=ψ-1(λ(f0+ε))M1ρ1ρ1

=‖u‖。

因此，令Ω1={u∈E|‖u‖<ρ1},所以当u∈P∩∂Ω1时，可得

‖Tλu(t)‖‖u‖。

(6)

第二步，由F可得，存在ρ3>0,使得当u≥ρ3时，有

f(u)≥(F-ε)φ(u)。

若存在u∈P,‖u‖=ρ2=max {2ρ1,4α-1ρ3},则可得:

‖Tλu(t)‖ ≥Tλu(δ)

=‖u‖。

因此，令Ω2={u∈E|‖u‖<ρ2},故当u∈P∩∂Ω2时，

‖Tλu(t)‖≥‖u‖。

(7)

定理2.2当f=0,F0=时，有,存在，若满足

那么取ε>0,使得对任意的

成立，则边值问题(1)至少有一个正解。

证明：现将证明分为以下两步：

f(u)≥(F0-ε)φ(u)。

若u∈P,‖u‖=ρ1,证明方法同定理2.1中证明的第二步。

令Ω1={u∈E|‖u‖<ρ1},则当u∈P∩∂Ω1时，有

‖Tλu‖≥‖u‖。

(8)

第二步，根据f可得，存在R1>0，当u>R1时，

f(u)(f+ε)φ(u),

根据f是否有界，考虑下面两种情况：

情况一:若f有界，则存在N>0,当u∈(0,)时，f(u)N。

令ρ3=max {2ρ1,φ-1(λN)M1},当u∈P且‖u‖=ρ3时，得：

‖Tλu(t)‖

=‖u‖。

因此，若Ω3={u∈E|‖u‖<ρ3},则当u∈P∩∂Ω3时，有

‖Tλu‖‖u‖。

(9)

情况二：若f无界，取ρ4>max {2ρ1,R1},使得当0

‖Tλu(t)‖

=ψ-1(λ(f+ε))M1ρ4ρ4

=‖u‖。

因此，当满足Ω4={u∈E|‖u‖<ρ4}时，有u∈P∩∂Ω4时，有

‖Tλu‖‖u‖。

(10)

综上所述，令Ω2={u∈E|‖u‖<ρ2=max {ρ3,ρ4}},当u∈P∩∂Ω2时，总可以得到

‖Tλu‖‖u‖。

(11)

3 举 例

3.1 考虑分数阶微分方程边值问题

解：通过计算得

M1≈1.17809,M2≈11.7809,f0=0.2,F=100,可以得到F成立，根据定理2.1得，当λ即0.008λ4.244时，此方程存在正解。

4 小 结

文章在阅读大量相关书籍以及诸多学者文献的基础上，探究一类具有p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的存在性，获得了正解的存在性定理和至少有一个正解的判断根据，最后，通过具体的例子验证了该结论的适用性。