教材重组开放教学，知识结构渐次生成*——李庾南老师“乘法公式”课例赏析

☉江苏省海安市城南实验中学朱月凤

得益于笔者所在学校是李庾南实验学校，经常参加实验学校一些教学观摩活动，有机会近距离接触专家教师李庾南老师，特别是观摩学习李老师的课堂，非常享受“行云流水”般的教学节奏，李老师将“有规则的自由课堂”演绎得令我们叹为观止.本文整理近期观摩学习李老师一节“乘法公式”随堂课的心得体会，与同行分享交流.

一、课例片段概述

教学活动（一）重点研究公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab

教学片段1：从计算（x＋3）（x-4）开始.

生1：原式=x2＋3x-4x-12=x2-x-12.

师：（指着第二步）我能不能把这一步再简化一下？

（生1有点茫然）

师：这两项是什么项？

生1：同类项.

师：我们怎么合并同类项？

生1：系数相加.

师：它们的系数是多少呢？

生1：一个是3，一个是-4.

师：-12是怎么得来的呢？

生：3和-4的积.

师：好，现在可整理得（x+3）（x-4）=x2+［3+（-4）］x+［3×（-4）］=x2-x-12.

师：我们来看这个式子，是二项式乘二项式，而且这两个二项式有共同点，你们觉得共同点在哪里？

生2：有相同字母.

师：对，都含相同的字母，（板书）而且这个相同字母的系数都是几？

众生：1.

师：这样的一次二项式，既然是一次二项，那另一项肯定是常数吧，我们很快就能运用多项式的乘法法则来计算，二次项的系数、一次项的系数，还有常数项，分别是怎么得来的？

生3：二次项系数是1，一次项系数是两个常数的和，常数项是两个常数的积.

师：（x-1）（x-5），你们能不能很快说出来呢？

生3：x2-6x+5.

师：你能说说具体的过程吗？

生3：-6是-1与-5的和，5是-1与-5的积.

师：和是什么？

生3：和是一次项的系数，积是常数项的积.

师：这种类型是什么样的类型吗？

生4：一次二项式，所含字母相同，而且一次项的系数为1.

师：这种多项式是不是特殊形式？特殊在哪儿呢？得到的结果又有什么特征？

生：结果是二次三项式，二次项的系数是1.

师：我们将这种特殊形式的乘法运算称为乘法公式.我们以前用数a、b表示一个公式，那我们今天学习的这个能不能也用一个公式表示呢？

生4：感觉有困难.

生5：因为是一个一次二项式，所以第一项不是一个数，所以我们不能用a表示，这里我们可用字母x表示，但是第二项是一个数，所以我们用a表示.它的结果就是一个二次三项式：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab.

师：这个依据是什么？

生5：多项式的乘法法则.

教学片段2：对新得出的乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab进行运用.

师：每个人举一个例子，用这个公式进行运算.在这个公式中，x一定就是一个字母吗？（安排学生独立思考）

师：还可以表示什么？

生6：多项式，也可以表示一个复杂的单项式，还可以表示一个具体的数.

师：哪位同学能出一道可以利用这个公式解的题？

生6：（xy2-6）（xy2+2）.

师：好，你说说公式里的x是哪个，公式中的a是多少，b又是多少.

生6：x是xy2，a是-6，b是2.

师：你请一个同学回答这个问题.

生7：（xy2-6）（xy2+2）=x2y4-4xy2-12.

师：对不对？

生6：对！

师：你认为他是对的，你怎么解释他是对的？

生6：运用今天学的方法，第一项是x2y4，第二项的系数是-6与2的和，第三项是-6与2的积.

师：他是懂的，但是没有用今天学的方法讲清楚，大家想一下，它的积是关于哪个二次三项式的？

众生：xy2.

教学活动（二）变式研究，生成其他乘法公式

教学片段3：学生举例生成其他乘法公式.

师：你再举个例子.

生8：［（a+b）2-3］［（a+b）2+3］.

师：这个里面的x是哪一个？

生8：（a+b）2.

师：现在看来是二次二项式，但是我们将（a+b）2作为一个整体来看，不就是关于（a+b）2的一个一次二项式吗？也请一个同学回答.

生9：a加b括号的四次方减9.

师：9怎么来的？这个9是一次项还是常数项？

生9：常数项.

师：你怎么少了一次项呢？

生9：-3加＋3等于0.

师：哦，也就是a加b等于0，所以一次项就变成0了，到了这里，现在好不好算？

（众生茫然）

师：现在有一个四次方，怎么算呢？

（众生有点儿茫然）

师：如果能先算出（a+b）2，然后进行平方就好了.要解决这个问题，现在要先学（a+b）2，能够很快说出它的结果吗？

生10：［（a+b）2］2=［a2+2ab+b2］2.

师：2ab从哪里来的？

生10：a乘b再乘2.

师：为什么？你怎么得到的？我们能不能用今天学的这个公式解决呢？

（小组讨论，教师参与）

生10：（a+b）（a+b）=a2+（b+b）a+b2.（教师板书）

师：这是关于谁的一次二项式？

生10：关于a的一次二项式.

师：很好，这个等式可简化为一个乘法公式（a+b）·（a+b）=a2+2ab+b2.这也是以后经常使用的完全平方公式.

说明：限于篇幅，只概述以上一些教学片段.事实上，在该课后续教学进程中，师生在对话互动中还得出了平方差公式.但是没有进行例题、习题训练，因为这是一节乘法公式单元教学的起始课，李老师的教学时间主要花在引导学生自主生成、构建几种乘法公式的框架与关系上.

二、课例赏析

1.从“三个理解”的角度看乘法公式课例

中国教育学会中学数学教学专业委员会理事长章建跃博士提出的“三个理解”指理解数学、理解学生、理解教学，在全国有很大的影响，突出体现在数学课例的设计与研究上，我们见到《中学数学》（初中版）就刊发了大量践行“三个理解”的课例.从“三个理解”的角度赏析李庾南老师的乘法公式课例，这节乘法公式课例是深刻理解数学的，因为重组了教学内容，并没有拘泥于教材，而且把几种乘法公式之间的逻辑联系、一般与特殊的关系揭示得很充分；从理解教学来看，李老师驾驭课堂的功力是深厚的，收放自如，行云流水，恰到好处；从理解学情来看，李老师善于安排学生独立自学，又恰时恰点开展议论与小组交流，对大组汇报展示能跟进追问，对学情的理解精准到位.所以，这也是一节体现了“三个理解”的示范课.

2.“学材再建构”单元教学值得深入学习

近年来，“自学·议论·引导”教学法提出“三学”（学材再建构、学法三结合、学程重生成），对课堂教学有很好的指导作用.像上面乘法公式这样进行教学设计，就是典型的“学材再建构”课例，因为教材上并没有这样安排教学进程，教材上列出的乘法公式就“两种”（平方差公式、完全平方公式），而像李老师这样把两个二项式相乘作为“第一个乘法公式”引入的做法是值得学习的，从数学知识的前后一致、逻辑连贯来看，完全平方公式与平方差公式确实与“第一个乘法公式”之间具有特殊与一般的关系.从上面我们整理的课堂实录来看，李老师让学生举例理解，所举例子就包含了完全平方公式、平方差公式.这样自然而然引出新的公式，也应该是李老师课前的精心预设.从这个课例来看，我们对基于“学材再建构”的单元教学的理解还很初步，需要教师在课前充分预设，而不是简单的教材内容先后顺序的调整，还应该充分考虑学生可能的生成，以及如何捕捉学生的有效生成，以服务于后续教程与学程.

3.“学程重生成”对教师的课堂驾驭能力要求高

在上面我们摘引的教学片段中，除了开课阶段由李老师引出的一个简单的计算，本课后续教学进程中的问题都由学生自主生成，并不断成果扩大，形成知识框架.这种课型看似“踩着西瓜皮，滑到哪里是哪里”，实质上却是：学生的生成都在李老师“如来佛手掌”里 ，最后都被采集到黑板相应区域，渐次生成了“结构化板书”.笔者也尝试过这种课型，具体实施时，需要教师在课前对板书设计中每一个区域的内容进行仔细规划，想清它们如何摆放，什么时候填写，通过哪些追问生成，都要在课前做到心中有数，这样才可能在课堂中恰时恰点地推进教程和学程.