椭圆曲线y2=(x-2)(x2+2x+15)的整数点

杜先存, 胡林云, 王　婷

(红河学院 教师教育学院，云南 蒙自 661199)

椭圆曲线的整数点是数论中的一个基本而重要的问题，关于椭圆曲线

y2=(x+a)(x2-ax+p) ，a，p∈Z

(1)

的整数点，目前结论很少，主要集中在a=±2上．

a=2时椭圆曲线(1)成为

y2=(x+2)(x2-2x+p)

(2)

关于椭圆曲线(2)的整数点问题，目前结论主要集中在文献[1]及文献[2]上，文献[1]给出了p=31时椭圆曲线(2)的整数点，文献[2]给出了更一般的情况．

a=-2时椭圆曲线(1)成为

y2=(x-2)(x2+2x+p)

(3)

关于椭圆曲线(3)的整数点问题，目前结论主要集中在文献[3]-[7]上，文献[3]-[6]给出了p=31时椭圆曲线(3)的整数点，文献[7]给出了更一般的情况．

本文将继续讨论a=-2，p=15时椭圆曲线(3)的整数点问题，得出了以下结论：

定理椭圆曲线

y2=(x-2)(x2+2x+15)

(4)

仅有整数点(x,y)=(2,0)．

1　相关引理

引理[8]设D是一个非平方的正整数，则方程x2-Dy4=1至多有2组正整数解(x,y)．如果x2-Dy4=1恰有两组正整数解，则当D=24s×1 785，其中s∈{0,1}时，(x1,y1)=(169,21-s)且(x2,y2)=(6 525 617 281,21-s×6 214)；当D≠24s×1 785时，

2　定理证明

证显然(x,y)=(2,0)为方程(4)的整数点．设(x,y)是椭圆曲线(4)的异于(2,0)的整数点．

因为gcd(x-2,x2+2x+15)=gcd(x-2，23)=1或23，故式(4)可分解为：

情形Ⅰx-2=u2，x2+2x+15=v2，y=uv，gcd(u,v)=1，u,v∈Z.

情形Ⅱx-2=23u2，x2+2x+15=23v2，y=23uv，gcd(u,v)=1，u,v∈Z.

以下讨论这两种情形下椭圆曲线(4)的整数点的情况．

情形Ⅰ 因为u2≡0,1(mod4)，故x=u2+2≡2,3(mod4)，所以x2+2x+15≡2,3(mod4)，而v2≡0,1(mod4)，故有2,3(mod4)≡x2+2x+15=v2≡0,1(mod4)，矛盾，故情形Ⅰ不成立．

情形Ⅱ当2⫮u时有u2≡1(mod4)，故有x=23u2+2≡1(mod4)．因此x2+2x+15≡2(mod4)，而v2≡0,1(mod4)，则23v2≡0,3(mod4)，故有2(mod4)≡x2+2x+15=23v2≡0,3(mod4)，矛盾，因此2⫮u不成立，所以2|u．令u=2w,w∈Z，则x-2=23u2为x-2=92w2，将x=92w2+2代入x2+2x+15=23v2可得(92w2+3)2+14=23v2，整理得368w4+24w2+1=v2，配方得(12v2+1)2+224w4=v2，即：

(v+12w2+1)(v-12w2-1)=224w4

(5)

因为gcd(v+12w2+1,v-12w2-1) =gcd(24w2+2,v-12w2-1)=gcd(2(12w2+1)，v-(12w2+1))．因为2|u，故由x-2=23u2知2|x，则由x2+2x+15=23v2得2⫮v，故2|[v-(12w2+1)]．又gcd(2(12w2+1)，v-(12w2+1))=2gcd(12w2+1，v-(12w2+1))=2gcd(12w2+1，v)．设gcd(12w2+1,v)=d，则d|v，d|(12w2+1)，故由式(4)知d|224w4．又gcd(12w2+1,224w4)=1，因此d=1，所以gcd(12w2+1,v)=1，因而gcd(v+12w2+1,v-12w2-1)=2．又224=7×25，故式(5)可分解为：

r=1,23,7,7×23

(6)

由式(6)的前两式，得

(7)

对式(7)两边取模4，得

(8)

当r=7时，式(8)为

1≡3a4(mod4)

(9)

因为a2≡0,1(mod4)，故a4≡0，1(mod4)，则式(9)为1≡0，3(mod4)，显然矛盾，故r=7时式(9)不成立，即情形Ⅳ不成立．

当r=7×23时，式(9)为

1≡-b4(mod4)

(10)

因为b2≡0,1(mod4)，故b4≡0，1(mod4)，则式(10)为1≡0，3(mod4)，显然矛盾，故r=7×23时式(10)不成立，即情形Ⅳ不成立．

当r=1时，式(7)为12w2+1=a4-56b4，将式(6)的w=ab代入得12a2b2+1=a4-56b4，配方得

(a2-6b2)2-92b4=1

(11)

令s=a2-6b2,s∈Z，则式(11)为

s2-92b4=1

(12)

令t=2b2，t∈Z，则式(12)为

s2-23t2=1

(13)

因为Pell方程s2-92b2=1的基本解为(s,b)=(1 151,120)，故由引理1得方程(12)至多组有一正整数解(s,b)，且若方程(12)有正整数解(s,b)，则方程(12)有正整数解(s,b)=(s,2t2)．又因为Pell方程(13)的基本解为(24,5)，则方程(13)的全部正整数解可表为：

由此可知方程(11)的整数解满足：

(14)

2b2=

则有

2b2=

(15)

因为2⫮n时式(15)右边为奇数，而左边为偶数，故2⫮n时式(15)不成立，因此式(15)要成立需2|n，由引理1知式(14)要成立需n=2．

当n=2时，由式(14)得

因此有a2-6b2=1 151, 2b2=240，则b2=120，显然无整数解，故n=2时式(7)不成立，即情形Ⅳ不成立．

当r=23时，式(7)为12w2+1=8a4-7b4，将式(6)的w=ab代入,得

12a2b2+1=8a4-7b4

(16)

由式(16)知2⫮b，故b2≡1(mod8)，因此式(16)两边取模8,得

4a2+1≡1(mod8)

(17)

由式(17)知2|a，故a2≡0，4(mod16)，则4a2≡0(mod16)．又2⫮b，故b2≡1,9(mod16)，则b4≡1(mod16)，因此式(16)两边取模16，得

1≡9(mod16)

(18)

则式(18)显然不成立，故式(16)不成立．因此r=23时式(7)不成立，即情形Ⅳ不成立．

综上所述定理得证．

参考文献：

[1] 过静．椭圆曲线y2=x3+27x+62的整数点[J].重庆师范大学学报(自然科学版)，2016,33(5)：50-53.

[2]杜先存．椭圆曲线y2=(x+2)(x2-2x+p)的整数点[J].西南大学学报(自然科学版)，2017,39(6)：69-73.

[3]D Zagier. Lager Integral Point on Elliptic Curves [J]. Math Comp,1987,48:425-436.

[4]Zhu HL,Chen J H. Integral point ony2=x3+27x-62[J]. J Math Study,2009, 42(2): 117-125.

[5]吴华明．椭圆曲线y2=x3+27x-62的整数点[J].数学学报(中文版)，2010,53(1): 205- 208.

[6]贺艳峰．数论函数的均值分布及整点问题的研究[D].西安：西北大学，2010:20-25.

[7]管训贵．椭圆曲线y2=x3+(p-4)x-2p的整数点[J].数学进展，2014,43(4):521-526.

[8]Togbé A, Voutier P M,Walsh P G.Solving a family of Thue equations with an application to the equationx2-Dy4=1[J]. Acta.Arith.,2005,120(1):39-58．