浅谈函数思想在数列中的应用

摘 要：在高中数学的学习过程当中，关于函数和几何图形的学习是非常重要的，而其中的函数思想是学习数学的一个基本的思想，也是相当重要的一种数学思想，无论是在平时的学习当中还是在高考当中，关于数列的习题占的比例还是比较大的，本文主要针对函数思想在数列中的应用进行了讨论，所以学习函数思想在数列中的应用，不仅能提高我们的学习效率，也能锻炼我们的解题思维。

关键词：高中数学；函数思想；数列

一、 数学解题过程中应用函数思想的含义

高中数学是一门逻辑性强、涉及内容领域十分广泛的学科，我们学生要想学透里面的知识点，不仅要掌握并熟练运用基础知识点外，还要做到将所学知识点融会贯通，灵活运用。那关于函数思想的应用也是比较重要的，函数思想在解题过程中的应用会使问题变得相对简单从而使问题得到解决。一般函数思想经常用到的函数性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等。

函数其实就是指在一定的区间内，每个输入的值都有一个唯一的输出值与之对应，函数就是用来描述这种关系的一个表达方式。

所谓函数思想，其实就是通过函数来研究和解决问题的一种思考方式，是解决“数学型”问题中的一种思维策略。在解题中，善于挖掘题目中的相关条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

二、 关于函数思想在数列中的应用

（一） 函数思想在数列性质研究方面的应用

数列是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列当中的数之间的关系有时候也会用函数方程表示，所以用函数思想去处理数列问题也是十分重要的。如下面的例子所示：

例1 已知数列的通项公式为an=n2-10n+9，这个数列从第几项起，各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正？数列中是否存在数值与首项相同的项？

如果用函数思想解题的话，可以把数列的通项公式看成是函数y=x2-10x+9，那数列{an}中的所有项都在这个函数图像上，函数开口向上，问题1就是找对称轴，函数的对称轴是x=5，所以当x=5时后面开始逐渐增大。第9项开始都是正数首相就是x=1，对称的就是x=9，a1和a9一样，都是1。

（二） 函数思想在等差数列中的应用

等差数列通项公式为an=a1+（n-1）*d=d*n+（a1-d），可以看作是一次函数形式，而其前n项和Sn=n*a1+n*（n-1）*（d/2）=（d/2）n2+（a1-d/2）*n，因此等差數列的前n项和的公式可以看成是过原点的二次函数，如果在相关的数列解题过程中，遇到此类问题，我们便可以利用这两点使问题变得更加形象、直观，从而缩短解题时间，提高解题效率。

其实可以把等比数列的前n项和看成是q的分段函数，分界线是q=1；所以由以上的公式可知等比数列的前n项和为指数函数模型。

例4 等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+a则a的值是？

分析：由等比数列前n项和形式：Sn=A-Aqn可将Sn=3n+a=1×3n-（-a）所以-a=1，即a=-1。

由例题可以看出，q不等于1，所以数列{an}是以3位公比的等比数列，其前n项和公式可以看成是指数函数的模型。

三、 总结

综上所述，函数思想的发掘和应用是高中数学学习的一大重点，在高等数学和现实生活中都有着很广泛的应用。因此在学习数学的解题过程中，一定要对题目进行仔细的分析，善于动脑，善于分析，利用函数思想去解题，让题目简化，提高我们的解题效率，从而提高我们的数学成绩。

参考文献：

[1] 韩云霞，马旭.浅谈函数思想在高中数学解题中的应用[J].宁夏师范学院学报，2016（3）：92-95.

作者简介：薛涵月，山东省枣庄市，薛城区枣庄市第八中学北校高三、8班。endprint