浅谈课后作业改编

郭斌斌

摘要：让学生通过小组合作的方式来探究勾股定理的证明。

关键词：勾股定理；小组合作； 斜边垂直；新课程理念

引言：勾股定理是一个基本的初等几何定理，现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一。

新浙教版2.7探索勾股定理（1）中，只介绍了一种证明方法，介于勾股定理证明的趣味性，我觉得有必要对勾股定理的证明方法进行拓展、延伸和提炼。

一、命题描述

原题：作业本2.7探索勾股定理（1）第7题

如图1，将一个直立的火柴盒在桌面上横向倒下，火柴盒的一个侧面ABCD横倒后的位置AB′C′D′，连结CC′.设AB=a，BC=b，AC=c，利用梯形BCC′D′面积的不同算法可以说明勾股定理a2+b2=c2成立.请你试一试，看能不能推导出勾股定理.

改编：如图1，将一个直立的火柴盒在桌面上横向倒下，火柴盒的一个侧面ABCD横倒后的位置AB′C′D′，连结CC′.现沿着AC，AC′剪开，得到4个全等的RtΔ.

（1）请你利用4个全等的直角三角形，来验证勾股定理，要求：1.所得图形不同于图1；2.以4人一小组为单位进行合作讨论，画出所得图形，并写出证明过程.

（2）请你利用2个全等的直角三角形，来验证勾股定理，以4人一小组为单位进行合作讨论，画出所得图形，并写出证明过程.

（3）请你利用直角三角形和正方形的组合，来验证勾股定理，以4人一小组为单位进行合作讨论，画出所得图形，并写出证明过程.

二、设计意图及实施策略

1.设计意图

主观上：曾经看到过这样一则故事：1876年一天的傍晚，当时美国议员伽菲尔德正在散步，发现有两个小孩正在谈论着什么。由于好奇他向两个小孩走去，只见其中一个正用树枝在地上画着一个直角三角形，于是问他们在干什么。那小孩说：“先生，如果两条直角边长为5和7，那么斜边长是多少？”他不假思索地回答：“斜边的平方等于5的平方加上7的平方。”小孩又说：“你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞。于是他回家潜心探讨，终于弄清了其中的道理。由此可见勾股定理有着很大的魅力，所以我觉得有必要对勾股定理的证明方法进行拓展，好让学生能够进一步体会勾股定理之美。

客观上：数学课上不仅要进行知识的传授，而且要重视数学思维能力的培养及个性品质的形成。就需要学生积极参与课堂教学，变被动接受为主动探究，真正发挥学生的主体作用。

2.实施策略

基本步骤如下：

（1）以4人一小组为单位进行合作讨论，小组成员间的座位是采用面对面和相邻的形式，这样有利于互相学习、讨论；

（2）组内成员分工明确，第1位学生要集合大家的智慧，利用所给的直角三角形或者和正方形的组合，要摆出正确的图形，第2位学生要根据所摆出的图形在白纸上画出该图形，第3位学生需要记录下证明的过程，第4位学生作为发言人展示小组的合作学习成果；

（3）完成习题的（1）之后，每个小组成员之间的角色要相互转换一次，以此类推，尽可能的使每个成员都能从不同的位置和角色上得到体验、锻炼和提高。

（4）由于小组中的每个成员都有自己的认知结构和自己思想方法的局限性，所以课后请每个小组成员记录下在合作讨论中的收获。

三、学生答题情况

由于学生已经学过新浙教版2.7探索勾股定理（1），所以对于勾股定理证明的思想方法有了一定的成功体验和积累。但是此题显然不是简单的按部就班，而是需要学生的创新精神和数学构造思想的一种结合，不仅如此，此题还要求学生的发散思维，追求图形构造的多样化，综上所述，这题应该具有一定的难度，对学生的数学综合运用能力要求比较高。

第（1）题的答题情况：所有小组都能构造出如图2的图形，少部分小组还能构造出如图3的图形，但当老师加以适当的引导：1.图2能成功的验证勾股定理的关键点你认为是什么；2.要产生c2就需要做到四个直角三角形的斜边互相垂直，这样引导之后所有小组都能构造出如图3的图形。

第（2）题的答题情况：所有小组都能构造出如图4的图形，也都能想到需要连结DE，并且能借助图4完成勾股定理的证明。

当追求所摆图形的多样化时，却遇到了一定的困难，只有少数小组能构造出如图5或如图6的图形，但当老师加以适当的引导：1.我们已经从第（1）题获得了哪些成功的经验；2.如何做到两个直角三角形的斜边互相垂直，这样引导之后大部分小组都能构造出如图5、如图6的一个或者两个图形。

對于利用已经构造出的如图5和如图6的两个图形来完成勾股定理的证明，显然对于学生而言并非易事，也只有2个小组能胜利完成证明过程，因此老师作了适当的引导：1.观察如图4的图形，为什么会想到连结DE，是因为能够产生c2，事实上产生的是面积c22；2.居然如此，那么我们能不能用类比思想来解决问题，能不能在如图5和如图6的图形中产生面积c22，这样引导之后大部分小组都能想到连结如图7、图8中的DB，从而能进一步利用图形来完成勾股定理的证明。

第（3）题的答题情况：有了第（2）题完成对于勾股定理证明的基础，大部分小组能够构造出至少1个图形，而且也能够利用面积法完成对于勾股定理的证明。

四、评价建议及命题反思

1.小组合作的评价：（1）小组合作学习为学生创设了一种民主、平等的课堂氛围，学生在合作中寻找到了学习的乐趣，体验到了参与合作的快乐，因此在整个探究的过程中，每位小组成员参与学习的积极性都非常高；（2）合作学习最大的优势是充分发掘和利用了人际资源，在合作中懂得了“众人拾柴火焰高”的道理，所以在一个小组里的每个成员都能主动思考，各司其职；（3）学生在合作讨论中思维常常会产生碰撞，而本题又要求构造图形的多样化，所以学生会尝试不同的方案来解决，因此每一位成员的创新意识在无形中提高；（4）通过小组合作学习的开展，学生的集体荣誉感和团队意识得到了增强。

2.命题反思：（1）题目的起点不够低，从第（1）题的小组合作的过程来看，尽管绝大部分的小组能够构造出图形，并能写出勾股定理的证明过程，但是在每一小组中学习基础相对薄弱学生的主动参与性不强，也就是他们的参与实际上是被动的，如果题目的难度再降低点，那么他们的参与很有可能变被动为主动；（2）从整个题目的设计，可能存在一定的缺陷，我们已经知道，能够成功证明勾股定理的图形，那么就要做到直角三角形的斜边应该是互相垂直的，而斜边互相垂直的情况不一定是顶点要重合。所以从思维的严谨性上考虑应该要让学生走出只构造出顶点重合的情形，至少从图形上要知道不一定是顶点要重合；（3）命题设计的完整性还不够，课堂教学的目的就是让学生学习并掌握科学文化知识，以期更方便地解决生活中发现的问题。所以此题在最后环节设计中可以增加一些联系生活的应用问题，从而好让学生更加充分的体会到我们数学学习的目的。

参考文献：

[1] 岳健.浅谈如何组织有效的小组合作学习 [J].新课程（上），2011（5）：207.

[2] 龚志明.学以致用，让初中数学回归生活[J].科教创新，2013（2）.

（作者单位：浙江省南浔锦绣实验学校 313009 ）endprint