基于“问题设计”突破数学核心概念的教学

浙江海盐元济高级中学(314300) 姜巍 丁晨芳

1.问题的提出

数学概念是人们对客观事物中有关数量关系和空间形式方面本质属性的抽象.正确理解并灵活运用数学概念,是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提.从一定意义上说,学生学习知识主要是掌握概念和由概念组成的系统.而高中数学核心概念是指对于整个高中数学学习起到一个统领、主导作用的概念,掌握了核心概念就等于掌握了高中数学知识的根本.《普通高中数学课程标准》中也明确指出:高中数学课程应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发生、发展过程和本质.学生对概念的理解认识、理解、掌握程度直接影响到学生对概念的运用.如何突破核心概念的教学是值得我们深思的问题.在概念课的教学中针对不同教学环节通过不同形式的问题设计可以增强学生的学习兴趣,调动学生的积极性,使学生主动地参与到课堂教学活动中,使学生经历观察、分析、类比、猜想、归纳、抽象、概括等活动,经历概念的生成过程,探究数学规律,揭示数学本质.下面笔者结合自己的教学实际谈谈通过问题设计突破核心概念教学的一些具体做法.

2.基于“问题设计”突破数学核心概念的教学的实践做法

2.1 设计合理化问题情境,探究核心概念的形成

亚里士多得有句名言:“思维是从疑问和惊奇开始的,常有疑点,常有问题,才能常有思考,常有创新.”能否点燃学生思维的火花,这就要看教师能否创设出合理的切合学生实际的教学情景.而设计一个精彩的、合理的问题引入课题,能够使学生对所学概念产生浓厚的兴趣和疑问,这正是学好这个概念的第一步.

例1.组合的定义 在《组合》这一节的引入时,恰逢浙江省新高考制度的实行阶段,除语、数、外三门必选科目外,从物、化、生、政、史、地、技术这7门选考科目中选出3门作为高考科目,在这一新的高考改革背景下,如何选取高考科目?有多少种选择方案?是每一个考生关注的问题.在学习组合这个概念的时候我提出以下问题:

问题1 如果给你一次机会,你打算从从物、化、生、政、史、地、技术这7门选考科目中选哪3门作为高考科目?(不同的同学会有不同的答案)

学生“选”的过程就是组合定义中“取”的过程,有了这样的参与,学生会对组合的概念有更加直观的认识.

问题2这是一个排列问题吗?

通过实例,发现这个问题是不需要进行“排队”,也就是没有先后之分的,进而深化“组合”与“排列”的本质区别.

问题3 这个问题与排列问题的根本区别是什么?(引出课题)

问题4 你能类比排列的定义给“组合”下个定义吗?

通过上面的思考过程,学生类比排列的定义,会试着给出组合的定义.

设计意图 通过这样的教学情景可以将学生的主观心理因素和客观环境结合起来,通过外部诱因,将学生的注意力吸引到课堂情景中来,激发学生学习兴趣,使其以积极的心态投入到教学活动中来,同时采用生活化的问题情境,更加有利于学生对“组合”这一核心概念的理解,也为组合数的学习奠定基础.

2.2 设计递进式问题串,理解核心概念的内涵

所谓“问题串”就是针对某一教学主题,从不同角度设计并列或递进的多个问题,或是某一段教学过程中设计的一系列问题.如常见课堂教学中的追问、一点多问、一题多变等.问题串的设置与应用能有效地调动学生思考的积极性与主动性,激发学生的有效思考,引导学生在对核心概念的理解上做深入的思考.

例2.数列的定义 数列是特殊的函数,其函数性质的应用极为广泛,本节作为数列的第一节,教学难点之一就是理解数列是特殊的函数.笔者通过以下问题化解这一难点.

首先通过创设问题情境,引出数列的定义(略).

考查数列 1,3,5,7,9,···,2n-1,···.

问题1 你能写出数列的第5项和第31项吗?

问题2 32是数列中的项吗?81是数列中的项吗?

问题3 通过以上两个问题,你对数列中的项有什么认识?

设计意图 从特例入手,让学生初步认识到:在数列中,由项的序号可以找到项;由项可以了解该项在数列中的位置,即知道该项的序号,进而概括出数列中每个序号都对应着一个项,反过来每一个项都对应着一个序号.

问题4 在该对应中,若把序号构成的集合记为A,把项构成的集合记为B,在A中任取一个元素,在集合B中是否有元素与之对应?若有的话,有几个?

问题5这种对应构成了什么关系?

问题6这里的对应法则是什么?

设计意图 通过递进式的追问,引出序号与项之间构成了一种重要的对应关系—函数.

问题7 数列既然是函数,其定义域是什么?值域又是什么?

问题8我们一般从哪些方面去研究函数的性质?

问题9如何直观的研究函数的性质?

问题10数列所对应的函数图象有什么特征?

设计意图 从函数角度出发去研究数列,通过对以上问题的思考,感悟数列是特殊的函数,它的定义域是正整数集或它的有限子集,并从图像的角度加深对这一结论的认识.人们对问题的认知,总是从已有的知识与经验出发.因此问题的设计要由小到大、由易到难、由浅入深、层次鲜明,让学生拾级而上,逐层递进.设计“问题串”是一种有效的策略,其作用在于引导学生的思维朝着正确的方向递进,感悟概念的本质,形成解决问题的策略.

2.3 设计典型性例题,深化核心概念的外延

概念的内涵就是指反映在概念中的对象的本质属性;概念的外延就是指具有概念所反映的本质属性的对象.概念的内涵是概念的质的方面,它说明概念反映的事物是什么样的;概念的外延是概念的量的方面,通常说的概念的适应范围就是指概念的外延,它说明概念反映的是哪些事物.概念的内涵和外延是两个密切联系、互相依赖的因素.每一个科学概念都有其确定的内涵和外延.而概念的外延恰恰是概念应用的生长点,也是考查学生对概念理解的切入点.因此,所有的命题常常是在“外延”上做文章.

在《平面向量的数量积》这一节的教学中,难点是对对平面向量数量积定义:cosθ 的理解,并在此基础上理解平面向量数量积的几何意义:向量-→a的模长与在方向上投影的乘积.为了理解这一核心概念笔者在教学时设计了如下例题:

图1

图2

2.已知AB=4,AC=6以及它们的夹角∠BAC=60◦能进行何种运算?

3.三角形的外心定义是什么,如何作一个三角形的外心?

5.如何建立关系式求解m,n?

设计意图 教师引导学生从平面向量的数量积这一概念的外延出发,抽丝剥茧,逐层逆推,直到概念的本质露出水面.在解决问题的过程中,通过追问来展现学生的思维成果,解除部分学生的困惑,启发学生共同思考.这样的问题设计,锻炼了学生的逆向思维能力,打破了顺向思维的定势,学会了如何识别概念的外延.

2.4 设计评价性问题,强化对核心概念的认知

一个数学概念的理解与掌握需要经历信息的两次转换,第一次转换是从教师发出信息到学生接收,信息在人际之间转换;第二次转换是学生对信息进行自我加工,使新学的概念纳入自己原有的知识结构,这是一种信息的自我转换,两次信息转换构成了一个完整的学习过程.如果教师不给学生预留第二次信息转换的机会,学生就难以达到“学会”.所谓评价性问题就是用于检测学生学习效果的检测项目,包括问题、练习题、小论文等.评价可以当堂实施,也可以通过课后作业的形式进行.为了提高评价任务的效度在设计评价任务时,对于问题情境的选择、知识点的把握都必须符合学生的实际和课标的要求,同时还要紧扣课堂教学内容.

例4设向量

例4的内容是平面向量共线定理的推广和延伸,在向量的学习中占有重要的地位,在证明了上面例题之后,为了检测学生对这一结论的理解和掌握,笔者设计了如下评价性问题.

设计意图 这些评价性问题的设计符合了定理的内容,由易到难,对于知识点的把握都符合学生的实际和课标的要求,同时紧扣课堂教学内容,有利于强化学生对上面结论本质的认识.

3.核心概念教学中关于问题设计的一点反思

3.1 问题的设计要以学生为主体

问题的设计要以学生为主体,了解学情,注重学生的最近发展区,即应考虑学生现有水平与其可能的发展水平之间的差异.设计的问题过于简单,不能激发学生的学习兴趣,设计的问题太难,学生会无法理解,难以引发共鸣,反而会使学生思维受到抑制.教师应该在教学的过程中根据实际情况,在引导学生学习新知识的基础上,设计符合学生思维水平的问题才能诱导学生思考,调动学生学习的兴趣和欲望,挖掘学生的内在潜能.

3.2 问题的设计要具备“有效性”

要设计有效的问题,教师课前一定要精心钻研教材,根据学生实际设计问题.课堂提问时,切忌信口开河,想到什么问什么.这些随意提出的问题,不能使学生在课堂学习中形成完整的知识体系和思维过程.例题的设计和课后评价性问题的设计也要有梯度、紧扣核心概念的主题,不能看到一道所谓的“好题”就选作例题,要明确是否有助于学生对概念的理解与掌握,问题不在于“多”、“难”而在于“精”“准”.