聚焦知识的“生长点”与“延伸点”

湖北省荆州市东方红中学(434100) 白宗化

《义务教育数学课程标准(2011版)》(以下简称“课标(2011版)”)指出:数学知识的教学,要注重知识的“生长点”与“延伸点”,把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中,注重知识的结构和体系,处理好局部知识与整体知识的关系,引导学生感受数学的整体性,体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解.数学知识的教学是一个整体,不是“碎片化”的单一的一节课的教学.因此,教师在课堂上要帮助学生了解知识的结构,构建知识的网络体系.

下面笔者以人教版《义务教育教科书·数学》为例,通过几则案例来说明,如何把握知识之间的内在关系,有效提升教师自身的教学能力.

一、把握知识的并列关系,教师要有整体意识

教材的很多内容都是“点状”的,有些知识只是基于某种事实和现状而进行编排的,顺序上并没有严格的要求.教材只是我们教学的一种资源,没有必要迷信教材,非得按教材的顺序去教.要变“教教材”为“教知识”.教师要充分研究教材,研究学生,把握这种“并列关系”来预设教学活动.

案例1“代入消元法解二元一次方程组”(七年级下册)

师:如何解这个方程组?

生1:可以由①得y=10-x,然后代入②得2x+(10-x)=16,从而可解出这个方程中的x,进而求出y.

师:很好!这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,叫做消元思想.这种方法叫做代入消元法.

生2:(举手)老师,也可以用②-①得x=6,再代入①可得y=4.

师:你真爱动脑筋,这也是我们常用的一种消元的方法—加减消元法.教师顺着学生的思维,因势利导,介绍加减消元法 ······

评析与思考 人教版教材上关于“代入消元法”和“加减消元法”是分为前后两节课时,先介绍“代入消元法”,再介绍“加减消元法”.教材编者根据二元一次方程组的一般特点,认为“加减消元法”要稍微复杂一点,所以放在“代入消元法”的后面介绍.事实上,这两种方法是一种“并列关系”,是“消元”的两种不同的方法,是一对“双胞胎”,并无先后之分.教师没有必要把这两种方法割裂开来去讲授.

可以结合具体的学生基础情况,选择先研究“代入消元法”,或者先研究“加减消元法”,或者两种方法一起作“整体性讲解”.具体情形要具体对待,教师要做到“应对有法”.如果简单地否定、回绝学生—“这是下一节课要学习的内容,我们下节课再来研究‘加减消元法’”,那么这将浇灭学生“学习的火焰”.

二、把握内容的延伸关系,教师要有“长程”意识

基于学生的认知特点,教材的很多章节都是整体与局部的关系.正是这种整体与局部的包含关系的存在,要求我们从学生成长发展的长程思考,以整体结构的方式对教材进行结构加工和生命激活的处理,开发和拓展教学内容的育人资源.

案例2“实数”(七年级下册)

例 已知实数a、b、c的位置如图所示,试化简:

这是我校七年级一位年青教师公开课中展示的一道例题.很多七年级教辅资料、练习册中都出现过类似的习题.从学情反馈来看,很多学生并没有掌握,学生在练习时,错误率高达65%以上.虽然七年级少数基础较好的学生可以解决这一类问题,但是绝大多数学生要做正确是很困难的.在评课的过程中,有的老师就说“这类题现在九年级的学生都很容易做错.”

评析与思考 “课标(2011版)”指出:数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程,逐步理解和掌握的”······“因此,教材在呈现相应的教学内容与思想方法时,应根据学生的年龄特征与知识积累,在遵循科学性的前提下,采用逐级递进、螺旋上升的原则.从有理数到无理数是数的范围的又一次扩充.七年级的学生才刚刚接触无理数这一陌生的概念,这里人为地拔高教学要求是否适切,很值得大家商榷.况且学生对于“式”的理解总是比“数”的理解要困难的多.

三、把握章节的特殊关系,教师要有归纳意识

复习旧知识可以“以旧导新”,有效促进知识的迁移,从而达到高效学习新知的目的.教师在教学中适时利用表格归纳新、旧知识之间的特殊关系,纵向对比,使学生的知识网络形成一个有机的整体.

案例3 “相似三角形”(九年级下册)

在学习了“相似三角形”的概念以后,我们可以用图表的形式,与“全等三角形”对比归纳它的定义、图形性质、表示方法以及它们之间的区别与联系(如下表).由于两者之间有着特殊的关系,这样对比归纳,有利于后面学习相似三角形的性质和判定.

全等三角形相似三角形定义能够完全重合的两个三角形对应角相等,对应边成比例的两个三角形图形性质形状、大小完全一样形状一样、大小未必一样表示方法△ABC ～= △A′B′C′△ABC ～ △A′B′C′相似比k=1 k区别与联系(1)找对应元素的方法一样.(2)全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定全等.

评析与思考 全等三角形是相似三角形的特殊情况,是相似比为1的两个三角形.把全等看成相似的特例,从相似这一上位知识来从新认识全等这一下位知识,建立章节知识之间的特殊与一般关系.数学中我们一般先研究特殊关系,在研究一般关系.这种“从特殊到一般”的研究方法在数学中经常用到.例如在研究“相交线”时,我们先研究“特殊的相交”—“垂直”关系;在“平行四边形”的学习中,我们先研究“一般平行四边形”,再研究“特殊的平行四边形”—“菱形、矩形、正方形”;在学习“一次函数”时,我们先研究特殊的“正比例函数”;在研究二次函数“y=ax2+bx+c(a/=0)的图形与性质”时,我们先研究“y=ax2(a/=0)的图像与性质”······

从“特殊到一般”、从“简单到复杂”是研究数学问题的一般思路.数学家在证明“哥德巴赫猜想”时,也是从最简单的情况开始研究的.所以,我们在进行课堂教学时,更要牢牢把握这种关系,归纳知识之间的内在联系,达到“利学利教”的效果.

四、把握概念的相通关系,教师要有类比意识

“授之以鱼不如授之以渔”,数学中很多概念和研究方法具有相通性.教师要善于抓住这些知识和方法之间的“共性”来进行讲解,打通知识、方法之间的“任督二脉”.

案例4“一元一次不等式组的解法”(七年级下册)

师:二元一次方程组的解的定义是什么?

生1:两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.

生2:找两个不等式组解集的公共部分.

师:(引入定义)一般地,几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的解集······

评析与思考 前苏联教育家乌申斯基认为:“在教学论中,比较应当是一种基本方法.”对于数学教学来说,这个思想也是正确的.人们对任何事物的认识都是通过与其相似或相异的其他事物的比较来实现的.“在比较中认识一切”,这句格言说明了“比较”在认识中的作用.

“异中求同”的类比教学形式在初中数学中经常用到,例如,“二次根式”加减运算,把它与已学过的“整式”加减运算比较,可以发现它们的合并法则都是一样的,不同点只是“同类根式”与“同类项”.还有“分式的基本性质”与“分数的基本性质”、“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”等等.

教材知识的呈现是符合学生的年龄特点和认知规律的,具有科学性.很多章节的知识之间具有层次性、关联性和延伸性的关系.教师对教材的处理能力的强弱可以看做是其教学是否走向成熟的一个重要标志.教师在教学中要合理把握知识之间的内在联系,找准知识之间“生长点”和“延伸点”,领悟教学之“道”,提升教学之“效”.