正弦式交变电流的图像问题求解策略

■河南省洛阳市第二中学 王春旺

若线圈在匀强磁场中绕与磁场方向垂直的轴匀速转动,则线圈中将产生正弦式交变电流。高中阶段同学们遇到的与正弦式交变电流相关的图像主要有四种,分别是磁通量随时间变化的图像、电动势随时间变化的图像和电流随时间变化的图像、电压随时间变化的图像等。

一、图像的解读

1.中性面位置是指线圈平面垂直于匀强磁场方向的位置。若发电机的线圈在匀强磁场中从中性面开始以角速度ω匀速转动,则与随之产生的正弦式交变电流相关的四个物理量随时间变化的规律和图像如下。

(1)磁通量：函数关系式为Φ=Φmaxcosωt,图像如图1所示。由磁通量随时间变化的图像可知：在中性面位置,线圈平面垂直于磁场方向,穿过线圈的磁感线条数最多,磁通量最大,最大值Φmax=BS,S为线圈面积;在垂直于中性面位置,线圈平面与磁场方向平行,穿过线圈的磁感线条数为零,磁通量为零。

图1

(2)电动势：函数关系式为e=Emaxsinωt,图像如图2所示。由电动势随时间变化的图像可知：在中性面位置,产生的电动势最小,最小值为零;在垂直于中性面位置,产生的电动势最大,最大值Emax=nBSω。

(3)电流：函数关系式为i=Imaxsinωt,图像如图3所示。由电流随时间变化的图像可知：在中性面位置,外电路中的电流最小,最小值为零;在垂直于中性面位置,外电路中的电流最大,最大值

图2

图3

(4)电压：函数关系式为u=Umaxsinωt,图像如图4所示。由电压随时间变化的图像可知：在中性面位置,外电路的电压(发电机路端电压)最小,最小值为零;在垂直于中性面位置,外电路的电压(发电机路端电压)最大,最大值

2.上述四个物理量的相互关系如下。

(1)根据法拉第电磁感应定律可知,电动势与磁通量的关系为

(2)若发电机线圈电阻为r,外电路电阻为R,根据闭合电路欧姆定律得

(3)根据闭合电路欧姆定律得u=iR=

二、图像的应用

1.这四种图像的横轴代表物理量时间,一个完整周期对应的时间均表示交变电流的一个周期。

2.利用图像可以确定相应物理量的峰值,即图像的最大值为相应物理量的峰值。

3.利用图像可以确定正弦式交变电流的有效值,即

三、图像问题攻略

利用正弦式交变电流图像分析相关各物理量的变化情况时,要注意中性面的特点。相关各物理量的变化可分为两大类：一类是电压U、电流I、电动势E、磁通量变化率它们的变化情况相同,遵循相同的变化规律;另一类是磁通量Φ,它的变化情况与前一类的变化情况相反。

例1边长为a的N匝正方形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线且与线圈在同一平面内的对称轴匀速转动,转速为n,线圈所围面积内的磁通量Φ随时间t变化的规律如图5所示,图像中Φ0已知,则下列说法中正确的是( )。

A.t1时刻线圈中的感应电动势最大

B.t2时刻线圈中的感应电流为零

D.线圈中瞬时感应电动势的表达式为e=2πnNcos2πnt

解析：t1时刻线圈中的磁通量最大,磁通量变化率为零,根据法拉第电磁感应定律可知,线圈中的感应电动势为零,选项A错误。t2时刻线圈中的磁通量为零,磁通量变化率最大,根据法拉第电磁感应定律可知,线圈中的感应电动势最大,根据闭合电路欧姆定律可知,线圈中的感应电流最大,选项B错误。由磁通量最大值Φ0=BS,S=a2可知,匀强磁场的磁感应强度选项C正确。根据正方形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线且与线圈在同一平面内的对称轴匀速转动的转速为n可得,频率f=n,ω=2πn,线圈所围面积内的磁通量Φ随时间t变化的规律为Φ=Φ0sin2πnt,线圈中瞬时感应电动势的表达式为e=NBsωcosωt=2πnNcos2πnt,选项D正确。答案为CD。

点评：此题以线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线且与线圈在同一平面内的对称轴匀速转动时线圈所围面积内的磁通量Φ随时间t变化的图像为信息,考查磁通量、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律及其相关知识点,意在考查同学们对磁通量图像的理解和综合运用相关知识求解问题的能力。

例2如图6甲所示,在磁感应强度为B的匀强磁场中,有一匝数为n,面积为S,总电阻为r的矩形线圈abcd绕轴OO'做角速度为ω的匀速转动,矩形线圈在转动过程中可以保持与外电路电阻R形成闭合电路,回路中接有一理想交流电流表。图乙是线圈在转动过程中产生的感应电动势e随时间t变化的图像,下列说法中正确的是( )。

A.从t1到t3这段时间内穿过线圈磁通量的变化量为2nBS

B.从t3到t4这段时间内通过电阻R的电荷量为

C.t3时刻穿过线圈磁通量的变化率为nBSω

解析：从t1到t2这段时间内,线圈转过四分之一周期(90°),穿过线圈磁通量的变化量ΔΦ1=0-BS=-BS,从t2到t3这段时间内,线圈又转过四分之一周期(90°),穿过线圈磁通量的变化量为ΔΦ2=-BS-0=-BS,因此从t1到t3这段时间内穿过线圈磁通量的变化量ΔΦ=ΔΦ1+ΔΦ2=-2BS,选项A错误。从t3到t4这段时间内,穿过线圈磁通量的变化量ΔΦ=0-BS=-BS,根据法拉第电磁感应定律可知,产生的感应电动势根据闭合电路欧姆定律可知,通过电阻R的电流通过电阻R的电荷量选项B错误。t3时刻线圈中产生的感应电动势最大,且所以穿过线圈磁通量的变化率选项C错误。电流表的示数为交变电流的有效值,即I=选项D正确。答案为D。

点评：线圈的两个面可以分别被视为正面和反面,磁感线从正面穿入可视为磁通量为正值,磁感线从反面穿入可视为磁通量为负值。在线圈从磁通量为最大值的位置转过180°的过程中,磁通量变化量为磁通量最大值的2倍,而不能视为磁通量变化量为零。

例3如图7甲所示,一矩形闭合线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的转轴OO'以恒定的角速度ω转动。从线圈平面与磁场方向平行时开始计时,线圈中产生的交变电流按如图乙所示的余弦规律变化,则在t=时刻,下列说法中正确的是( )。

A.线圈中的电流最大

B.穿过线圈的磁通量最大

C.线圈所受的安培力为零

D.穿过线圈磁通量的变化率最大

解析：由周期公式可知时刻,线圈恰好转动一个周期,对应图乙中线圈中的电流最大,选项A正确。当线圈中的电流最大时,对应感应电动势最大,穿过线圈磁通量的变化率最大,穿过线圈的磁通量为零,选项B错误,D正确。根据安培力公式F=BILsinα可知,当电流I最大时,电流I与磁感线间的夹角为90°,线圈所受安培力最大,选项C错误。答案为AD。

点评：此题以电流—时间图像为信息,但是没有给出电流的变化周期,同学们需要根据题述“矩形闭合线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的转轴OO'以恒定的角速度ω转动”得出电流的变化周期从而确定在时刻,对应图乙中线圈中的电流最大,最终使相关问题得到解答。