经历过程 探寻规律 渗透模型思想

刘婷

摘 要：《课程标准（2011年版）》阐述了模型思想的重要意义，引导教师注重学生的数学模型思想建立，不但要重视结果，更要关注学生自主建立数学模型的过程，让学生亲身经历将具体问题“数学化”的探究过程，从复杂的现实素材中找出最本质的数学模型的过程，并在建模过程中培养学生的数学应用意识，引导学生自觉地用数学的方法去分析、解决生活中的问题。

关键词：模型思想；小学数学；渗透

引言

在小学阶段，从《课标》的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明确了模型思想的重要意义。如何建立数学模型呢？《课标》也给出了答案：以“问题情境——建立模型——解释、应用于扩展”作为小学数学课程的一种教学模式。

一、激趣创设，发现、提出问题，初步感知

教学情境的创设，要从学生已有的知识经验和生活经验出发，利用多种形式尽可能地创设生动有趣、目标明确、富有挑战性的问题情境，来激发学生的好奇心和求知欲，引发学生的探究欲望。在探索解决问题的过程中，感受新知识产生的背景，理解新知识引入的必要性及作用，激发学生主动参与数学活动的积极性，使学生的数学学习更为生动有效。例如，《鸽巢问题》教学这一节课中，可以通过学生熟知的纸牌魔术展示，有目的的激发学生在课堂上的积极性；在“魔术揭秘”的猜测中引发学生探究的兴趣和探索的欲望，从而促进学生将生活问题抽象成数学问题，感知数学与生活的联系，培养学生以数学的眼光发现问题、提出问题、解决问题。

二、自主探究，经历过程，探寻规律，初步建立模型

学习素材是学生建立数学模型的基础，因此教师首先要给学生提供丰富的学习素材，多侧面、多维度、全方位感知某类事物的特征或数量间的相依关系。例如：《鸽巢问题》教学这一节课中的探究环节。

师：回想一下，以往我们学习数学广角时都是把复杂的问题简单化，也就是运用化繁为简的方法来研究的，今天我们继续运用化繁为简的方法，先来研究一个数据小、容易理解的例子。请看——

1.出示：先出示三个笔筒，再出示四支笔。

2.问题：把这四支笔放到笔筒里，都可以怎么放？会有几种情况？

出示：不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支笔。

3.你们同意吗？这句话你怎么理解？

4.活动要求：到底是不是这样呢？这样吧，利用你手中的学具或者画图表示，来摆一摆、画一画，写一写，把你的想法记录下来。

5.学生活动。暴露资源，组织研讨。

6.研讨汇报：谁来展示一下你们的摆放情况？

（1）用“枚举法”证明

①画图（图） ②数的分解（图2）

（2）用“假设法”证明

教师实物演示：每个笔筒里先放1支笔，还剩下1支，不管怎么放都能够保证每个笔筒里至少有2支笔。

总结：刚才咱们用不同的方法证明，得出了什么结论？

7.在不断变化中提升认识：请同学们思考，如果把5支笔放进4个笔筒里，总有一个笔筒至少有几支笔？6支笔放进5个笔筒里呢？……100支笔放进99个笔筒呢？

8.要求：先独立思考，可以在本上画一画，写一写，然后把你的想法和同学交流一下。

9.你还是通过枚举法把所有情况都找出来吗？

生：不是。

师：的确，当数值比较大时，枚举法就比较烦琐，但也不能否认枚举说明法的价值，正所谓尺有所长，寸有所短，具体情况具体分析。

10.你怎么知道总有一个笔筒至少放了两个支笔的？

预设：假设每个笔筒都放一支笔，那么还多一支笔，放任意一个笔筒里，所以至少有两支笔放到了一个笔筒里。

11.观察一下板书上的数据，你能发现什么？

笔数 笔筒数 至少数

4 3 2

5 4 2

6 5 2

100 99 2

总结：只要分的笔数比笔筒数多1，总有一个笔筒里至少有2支笔。

12.课件出示：7只鸽子飞回5个鸽笼，至少有（ ）只鸽子要飞进同一个鸽笼里。

請同学们先自己思考，可以利用咱们刚才的研究方法，自己写一写、画一画，想一想，然后在小组内讨论。

13.交流、说理活动，提炼算式。

师：能用算式来表示吗？

生：7÷5=1……2

14.揭示原理：师：像上面这样的现象蕴含着一个数学道理，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以该原理又称“狄里克雷原理”。这一原理有两个经典案例，一个是把10个苹果放进9个抽屉里，总有一个抽屉里至少放了2个苹果，所以这个原理又称为“鸽巢问题”；另一个是6只鸽子飞进5个鸽巣，总有一个鸽巣至少飞进2只鸽子，所以也称为“鸽巢原理”。

15.师：刚才往笔筒里放笔的问题里谁是书，谁是抽屉？谁是鸽子，谁是巢？

生：笔是书，是鸽子；笔筒是抽屉，是巢。

考虑到“鸽巢问题”是一类较为抽象和艰涩的数学问题，对全体学生而言都具有一定的挑战性。为此，设计了以学生熟悉的、可操作的笔和笔筒为课堂研究素材，采用小组学习、集体讨论等以学生自主实践活动为主体的教学模式。以鸽子、巢，书、抽屉为多样的提升素材，学生熟悉，感兴趣，学习的主动性、积极性会有所提高；通过把3个素材进行对比、关联、分析，利用有余数除法解决了这3个具体问题后，引导学生总结归纳解决这一类“鸽巢问题”的一般方法。学生可以得出“抽屉里至少有‘商+1个物体”的 “公式”，也可以“a÷n=b……c，总有一个抽屉至少可以放（b+1）个物体”的抽象形式来刻画。

经历这样的探索过程，才能使学生更加明确了抽屉和物体、鸽子和巢之间的密切联系，加深了对 “鸽巢问题”模型的认识，数学的思想、方法得到沉积、凝聚。

三、提升思维，灵活应用，深化模型思想

从具体的问题经历抽象提炼的过程，以学生熟悉的材料作为学习素材，初步构建起相应的数学模型，进而不断让学生用所建立的初步数学模型思想来解释生活实际中的问题。在《鸽巢问题》一课，当把鸽巢问题这一模型抽象出来之后，紧接着让学生解释了开课的魔术，这一环节的设计就是对模型思想的进一步深化，用探寻出的规律解释其中的奥秘，真正理解和应用“数学模型”。

模型思想应用的设计形式设计多样，不仅大大提升学生学习与探索、研究、应用的趣味性和积极性，也能有效地发展学生的数学思维能力，引导学生的思维步步深入。

四、结语

综上，数学建模思想的形成过程是一个综合性的过程，小学数学建模思想的形成过程大致分三个步骤：

一，感知数学模型阶段，这一阶段需要创设情境，发现和提出问题；

二，构建数学模型阶段，这一阶段就是自主探究，经历问题解决、发现规律的过程；

三，深化数学模型阶段，这一阶段就是进一步提升对数学模型的认识，解释与应用模型，体验数学模型价值的过程。

数学模型思想的建立，不能仅仅是看重结果，更要关注的是建模的过程，把它渗透到课程中的每一个环节，渗透到知识形成的过程中，渗透到课堂活动中，渗透到知识应用中，从而渗透到学生思维过程中。使学生在实际操作中亲身经历、感受、理解、掌握和领悟数学模型思想，真正地让数学模型思想在与知识能力形成的过程中共同生成。通过模型思想的构建，逐步培养学生形成良好的思维习惯和应用数学的能力，培养学生应用数学的意识和自主、合作、探索、创新的精神，为学生的终身学习、可持续发展奠定基础。

参考文献：

[1]刘勋达.小学数学模型思想及培养策略研究[D].武汉：华中师范大学，2013.endprint