以《九章算术注》论刘徽数学证明

邬岳基　徐泽林

摘 要：《九章算术注》是魏晋时期数学家刘徽的代表作，刘徽以对《九章算术》作注的方式对其中的数学内容进行叙述证明，并在其中贯穿着超越这个时代数学家的演绎证明与非演绎证明方式，形成了其独特的数学证明体系。

关键词：刘徽；演绎证明；数学证明；逻辑推理

《九章算术》是中国古典数学中现有传本的最古老的数学典籍，其成书于东汉初期。对于《九章算术》的注释中以魏晋时期刘徽的《九章算术注》被后人研究以及研读的最多。如钱宝琮、杜石然认为在刘徽的《九章算术注》中“包含了许多关于数学概念、推理和若干证明论方面的思想”[1]。在此书中，刘徽详尽的解释了《九章算术》中的所有问题并对疑难处着重进行了探讨并给出了具体应用，还增添了实例进行说明。如果说“作为一名中国的数学工作者，首先应对自己的数学历史有深刻的认识，为此必须首先对《刘注》与《九章》有确切的了解”[2]。《九章算术注》是中国传统数学的一部代表作，通过对《九章算术注》的研读从而揣摩体会刘徽形成的独特的数学证明体系。

一、刘徽在《九章算术注》中的一些概念引入

在《九章算术注》中，刘徽引入了很多前人并未用到的数学概念，并对这些新的概念做出明确的定义，在后面的篇章中通过之前所做出的定义可对《九章算术》中的问题给予证明。这种证明方式类似于西方的公理化系统中的逻辑演绎推理证明。在《九章》第一章方田章开篇有原文写到：

“方田术曰：广从步数相乘得积步。”

此文含义为：方田算法中说：长方形长与宽相乘的步数相乘得到其面积”。针对原文当中“积”的含义刘徽对“积”提出定义：

“此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂”

针对原文中的“积”刘徽给出定义，凡是长方形面积都用长乘宽即“幂”代替了“积”的含义。在后文中所有涉及到“积”的相关问题，均由更贴切的“幂”取代。

而在方田章中刘徽还提到了“率”：

“凡数相与者谓之率。率者，自相与通。有分则可散，分重叠则约也。等除法实，相与率也。”

这里面提到了“率”的定义，即凡是数与数之间具有相比的关系，可称之为“率”。正如今天的一次函数类似，刘徽“率”的含义就是两个数具有比例关系，具有线性关系。

在方程章开篇中刘徽提出了“方程”的概念：

“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实，令每行为率。二物者再乘，三物者三乘，皆如物数乘之。并列为行，故谓之方程[3]。”

他首先提出程就是课程的“程”，即多个“物”的数量被打乱的放在一起，每列都具有固定的数目。我国传统数学是以解决实际问题而出发的，刘徽创造方程的概念也是为了解决生活中“物”的问题。通过解释方程的构造为方程进行定义。

刘徽在《九章算术注》中以定义的方式重新界定了一些概念，这可以视作广义上的一种证明方法，通过概念证明何为“幂”“率”“方程”。以设立新定义的方法阐述自身要言明的问题，同时为后文直接引用做出铺垫。

二、刘徽数学证明的实例

刘徽在《九章算术注》中存在大量由逻辑推理得出结论的实例，这种证明方法的特点是没有过多的符号算式与计算过程，通过类似推理形式中连锁推导法的方法由逻辑演绎的方式推导出相应的结论，其侧重点并非数字计算而是注重思维逻辑的跃迁，属于逻辑演绎证明方法中的一种。

例1 在《九章算术注》中，刘徽对于商功章中求城（城墙）、堤（堤坝）、渠（水渠）的体积公式的解释如下：

按此术，并上下广而半之者，以盈补虚，得中平之广。以高若深乘之，得一头之立幂。又以袤乘之者，得立实之积，故为积尺。

刘徽以简短精炼的文字表述出“以盈补虚”之术。将整个立体纵向切割，视为无数个梯形截面叠加在一起，以宽高相乘求可得梯形纵截面之面积，然后以极限的思想无限叠加，叠加之长为堤坝之“袤”，以此术可得体积。在商功章创立了著名的“阳马术”，同时也被称之为“刘徽原理”。其主要是通过极限思维结合图形分割形成的“无穷小分割法”论述其证明过程，在证明的过程中运用了演绎推理的方式并结合连锁推导法和综合归纳法论证了如何将立方体分解成阳马以及堑堵。

例2 在商功章中原文如下：“次章有堑堵、阳马，皆合而成立方。盖说算者乃立棊三品，以校高深之职。”

刘徽将堑堵斜切后可得两部分一为阳马，所余为鳖臑，而等分愈小，体积的剩余部分愈细微。当细到了极点时称之为“微”，到了“微”之时也就没有形体了。刘徽在此处由综合归纳法将前面由实例得到的阳马与堑堵的比例为2：1的结论延伸推理，与现在的“无穷多分割法”无异，通过逻辑演绎的方式进行证明。刘徽通过“半之弥少，其余弥细”对小立方体以及小阳马进行无数次分割；而之后的通过“至细曰微”对无穷小的最小定义为“微”，从思维上对无穷小在分至最细时进行定义。而最后的“微则无形”则更明显体现出刘徽不仅仅定义了无穷小，同时提出在分割到最细的时候，无穷小的极限趋近于零。刘徽通过“无穷小分割”的方法对阳马与堑堵的比例进行了证明。

在《九章算术注》中刘徽所创的“割圆法”是展示传统数学高超计算技巧的经典范例，其中对于圆周率的计算以及圆形面积的求证的数学思维过程极具代表性，是研究刘徽数学思想必不可少的一部分。刘徽对《九章算术》中“半周半径相乘得积步”进行了证明，在作注过程中以演绎推理的方式证明了“圆田术”。

例3 在方田章中刘徽通过“割圆法”来求出圆形的面积，原文如下：

若又割之……则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失也。

在对“割圆术”的证明之中，刘徽分别用到几何例证法、归纳推理论证法以及通过极限证明表现演绎推理论证的方法。纵观整个证明过程，刘徽证明的思路清晰异常，以对“周三径一”产生质疑起，通过几何例证的方式对前人结论的错误进行证明；随后在前人计算的基础上创立“割圆法”，以逐渐分割归纳推理的方式直至“割之弥细”，将圆尽可能的进行分割以求出最精确的圆周率；最后通过演绎推理的方式，借助极限的方式对圆分割至“以至于不可割”之時，得出此时得到的圆周率方为真正的圆周率，同时为后人继续求解做出铺垫，完成了“割圆术”的全部证明。这种综合证明的方式也是刘徽所创数学体系中证明的经典之作。endprint

在刘徽在《九章算术注》方田章中弧田术还运用到反证的方法。在数学证明中，反证法是一种论证数学命题的方法，其要义为首先假设某一个命题在其原始的条件下不成立，然后推理出与已经下的定义或者已存在的定理或先觉条件有明显矛盾的结果，从而可得原假设不成立。以矛盾的方法反向对结论进行证明。

三、刘徽数学证明的种类

刘徽在《九章算术注》中通过多种论证方式对《九章算术》中的诸多法则与算法进行了注释及证明。刘徽对数学证明的理解并非止步于以图形或算式论述一则定理或一道公式的正确，郭金彬先生曾有文认为刘徽通过“率”为载体建立了“刘徽数学理论体系”[4]。刘徽建立了近乎于完整的数学体系，并在其特定的数学体系中对《九章算术》的数学公式与法则进行证明，其中既包涵演绎证明，又囊括几何例证等非演绎证明。

从方田章的开篇即可看出，刘徽证明的出发点以对“积”“率”“程”为出发点，分别定义了几何中的面积、运算中的数字比例关系、物与物之间方程的概念，以此作为刘徽证明体系的出发点，其对《九章算术注》的证明大致可以分为非演绎证明与演绎证明两种证明思路。

第一类证明是非演绎证明：包括通过几何作图、构造性证明以及直观定义。这种证明方法在充斥于传统数学之中，其主要特点为并无过多逻辑演绎的过程，以直观的推理或几何方式对问题产生敘述。刘徽在《九章算术注》中以演绎证明为主，单纯的非演绎证明较少，多数证明中都穿插非演绎证明。在上文商功章中对堤坝问题的证明中刘徽就使用了非演绎证明，将堤坝的形状直观上与梯形相结合对其纵截面进行计算。非演绎证明还包括通过对客观事物的印象对其下结论的方式，进行类似演绎证明中定义法的一种证明，这种证明没有运用到逻辑演绎证明的方法，也可以分类到非演绎证明。通过用概念所反映对象的显性特征来规定概念的内涵，这种证明类型典型的例子有：刘徽的证明中对“幂”“积”两者之间的关系进行定义，“积”代表两者相乘之数，刘徽认为以此概念定义物体的面积略显狭窄，而用“幂”代替则凸显物体所占空间大小，更便于理解此概念。这种直观定义的方式也是刘徽对非演绎证明运用较多的一种。

第二类证明是演绎证明：即通过刘徽对自己定义的命题和推导出的公式以及前人固有的结论，通过这些进行逻辑推理得出结论的方式称为演绎证明。这种证明方式主要以思维的跃迁和逻辑思考为主，以演绎的方式具体呈现。在对“阳马术”的证明中运用到了综合归纳法以及连锁推导法，通过实际作图切割的方式将不同立方体斜解之后的小阳马与堑堵的比例；其次在对“割圆术”证明之中，刘徽将几何例证的方式结合归谬反驳法以及综合归纳法合理驾驭，求得割圆之术。对于“周三径一”的不当性，承接内接的想法，以发散类比圆内接正六边形的思维继续做圆内接正多边形求得提升精度的“新圆周率”，并以综合归纳之法论证了前人“圆田术”的正确；最后在对“弧田术”的证明中用到了反证之术亦可称之为归谬法，先假设结论正确，通过图形中直观的面积缺失反证结论错误。其证明还展示出三段演绎法的雏形，在弧田术均可以此术计算，而圆田属于弧田中一种，故圆田也可用“弧田术”计算这一部分中，运用了三段论的方式进行证明。

四、结论

从刘徽的演绎证明与非演绎证明两种证明方式中体现出刘徽数学的核心思想：“析理以词”与“解体用图”，其“解体用图”主要与非演绎证明想联系，突出几何方向的简单证明，而“析理以词”则上升到通过逻辑演绎的方式对问题进行更深入的比类以及归纳，这两种证明方法作为《九章算术注》中证明部分的两条主线，而其中各种具体证明方法穿插萦绕其中，共同充实了刘徽的数学证明体系。

参考文献：

[1]钱宝琮，杜石然.试论中国古代数学中的逻辑思想[A]；中国逻辑思想论文选（1949—1979）[C]；1980年

[2]吴文俊.《九章算术》与刘徽[M].北京：北京师范大学出版社，1982.

[3]李继闽.《九章算术》导读与译注[M].陕西科学技术出版社， 624.

[4]郭金彬.试论刘徽建立数学理论体系的方法[J].自然辩证法通讯，1990（02）：49-55.endprint