小学数学教材中的数学史——数学家刘徽

江献

【摘要】刘徽的数学成就在中国乃至世界数学史上都产生了深远影响，人教版小学数学教材分别介绍了刘徽在小数、面积计算、圆周率计算以及正负数表示方面的成就，文章对以上内容作了详细介绍，同时还介绍了刘徽的其他数学成就，为小学数学教师进一步了解刘徽的数学成就提供帮助.

【关键词】刘徽；小数；割圆术；负数；阳马术

刘徽是我国数学史上一位伟大的数学家，他在数学方面取得的成就在中国乃至世界数学史上都产生了深远影响.他一生取得了许多数学成就，尤其是他在几何、分数、重差术等方面的研究对数学发展具有深刻的意义.基于刘徽对数学发展所做的重大贡献，人教版小学数学教材分别在四年级下册第33页“小数的意义和性质”部分介绍了刘徽对小数发展的贡献（图1）；在五年级上册“梯形的面积”部分介绍了刘徽的“出入相补”原理（图2）；在六年级上册“圆的面积”部分介紹了刘徽的“割圆术”（图3）；在六年级下册“负数”部分介绍了刘徽对负数发展的贡献（图4）.其内容之多仅次于《九章算术》，因此，为了让小学一线数学教师能够更详细地了解刘徽的数学成就，并将其在教学中进行渗透，以下将结合小学数学教材进一步详细介绍刘徽的数学成就.

一、徽 数

“徽数”也就是我们今天的小数.公元3世纪左右，刘徽在注解《九章算术》时，我国的长度单位是：丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，忽是最小的单位，刘徽在研究中遇到忽以下的数，他没有继续命名，而是创造了十进小数，刘徽称作“徽数”，他在《九章算术注》的方田章圆田术注、少广章开方术注和少广章开立圆术注中分别用到了十进小数.这是世界上对小数的最早认识.[1]

二、出入相补原理

出入相补原理是指：一个平面图形从一处移置它处，面积不变.即若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而，图形移置前后各面积间的和、差有简单的相等关系.立体的情形也是这样.刘徽在《海岛算经》的“测望术”中使用这一原理，历史上这一原理至迟在战国时代就已经被广泛认识和应用了.[2]今天的小学数学教材利用出入相补原理进行三角形、梯形等平面图形面积的推导.

三、割圆术

割圆术是刘徽为《九章算术》方田章“圆田术”作注时引入的.《九章算术》提出了圆田术：半周半径相乘得积步.这就是圆面积公式：

其中S，L，r分别是圆面积、周长和半径.在刘徽之前人们用圆内接正六边形的周长代替圆周长.为了证明这一公式，刘徽提出了割圆术，刘徽从圆的内接正六边形出发，将边数逐次加倍（图5），并计算逐次得到的正多边形的周长和面积.刘徽指出：“以六觚之一面乘半径，因而，三之，得十二觚之幂.若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而，六之，则得二十四觚之幂.割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”也就是说，当分割的次数无限增加时，则存在圆内接正多边形面积的极限，此极限就是圆面积，即

刘徽计算到了圆内接正192边形，求得圆周率的近似值3.14.他自己也认为“此率尚微少”.[3]南北朝时期的祖冲之算出了圆周率数值的上下限：

3.141 592 6<π<3.141 592 7

一般认为这个“正数”范围的获得是沿用了刘徽的割圆术.事实上，如果按刘徽割圆术从正六边形出发连续算到正24576边形，恰好可以得到祖冲之的结果.[4]

四、负 数

负数一般定义为小于零的数.中国古代没有负数一词，但有“负”（亦作负算）.目前国内外一致公认最早的负数记法出现于中国的《九章算术》.《九章算术》“正负术”中给出正确的负数运算法则，公元263年（魏景元四年）刘徽的《九章算术注》把正与负看成是相对存在的数的两种情况，刘徽指出“正算赤，负算黑.否则以邪正为异”.说明负数可以用黑色算筹或者以斜画的筹表示，刘徽在世界数学史上第一个采取了把数的正负与加减运算关系统一起来的做法.[3，5]

五、其他成就

（一）阳马术

《九章算术》“商功章”阳马术给出阳马的体积公式为其三条直角边乘积的三分之一，即

（二）球体积计算

刘徽作球的外切立方体，再在立方体内作两个与球半径相同的互相垂直的圆柱，刘徽称这两个圆柱的公共部分为“牟合方盖”（图7）.他指出用水平面去截球和“牟合方盖”所得的面积比为π∶4，因此，球和“牟合方盖”的体积比也为π∶4，只要能够求出“牟合方盖”的体积即可得到球的体积.[8]然而，刘徽没有能够直接求出“牟合方盖”的体积.

并将刘徽的思想上升为理论，提出了祖暅原理“缘幂势既同，则积不容异”，[9]即两个等高立体如果在所有等高处的水平截面积相同，则两个立体的体积相同.

（三）重差术

刘徽在《海岛算经》中借助于相似勾股形的比例关系和中国古代的“重差术”计算山上的松高，这是刘徽对中国古代重差理论的进一步发展，展示了勾股比例和重差测量的演化历程.[3]

【参考文献】

[1]李迪.中国数学史简编[M].沈阳：辽宁人民出版社，1984：90.

[2]董杰.出入相补原理在清初正五边形、十边形研究中的应用[J].内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版），2009（5）：539.

[3]朱家生.数学史（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011（5）：59，60，64.

[4]李文林.数学史概论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2011（3）：86.

[5]王青建.古代的负数记法[J].辽宁师范大学学报（自然科学版），1998（3）：177-181.

[6]蔡伟，李劲.阿基米德和刘徽求积的“余部分割法” [J].天水师范学院学报，2005（4）：1.

[7]徐品方.数学简明史[M].北京：学苑出版社，1992：50-51.

[8]智广元.刘徽数学思想探析[J].泰山学院学报，2006（5）：22.

[9]李宇袆.“牟合方盖”研究[J].雁北师范学院学报，2003（10）：107.endprint