数形结合比翼双飞

倪阿亮��

摘要：解三角形是高中数学的重要一章，在本章中主要以正弦定理和余弦定理为主，公式灵活多变，同时又紧密联系三角函数、平面向量等章节，学生在学此章节内容中不能将公式灵活运用，方法比较呆板。

关键词：解三角形；数形结合；正弦定理；余弦定理

本文通过以数形结合的思想为主体，对2011年卓越联盟的试题进行多角度的分析，既系统地复习了解三角形这一章节的基础知识，又拓展了解题思路和激发了思维火花，同时提炼出最佳解法，优化解题思路。从而达到减轻学生学业负担，提高整体复习效果的目的。

在△ABC中，AB=2AC，AD是∠A的角平分线，AD=kAC。

（1）求k的取值范围；

（2）若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短。

解法一：正余弦定理应用

（1）∵S△ABD+S△ADC=S△ABC，

∴12|AB||AD|sinθ+12|AC||AD|sinθ=12|AB||AC|sin2θ，∴k=43cosθ

∴k∈0，43

（2）∵S△ABC=12·2·|AC|2sin2θ，∴|AC|2=1sin2θ，以下三角形各边用三角函数表示。∴|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos2θ=5sin2θ-4cos2θsin2θ=5-4cos2θsin2θ

令t=5-4cos2θsin2θ，∴5-4cos2θ=tsin2θ，∴t2+16≥5，∴|BC|≥3

cos2θ=45=2cos2θ-1，∴k=2510

在解三角形中，运用正弦定理、余弦定理解决问题是一种典型方法。通常解题到此已经结束，不过深入研究此题，发掘其背后的几何特性，更符合新课改的要求。因为只有教师站在高观点下看待高中问题，才能让学生更深刻的理解数学问题本质，从而举一反三，提高复习效率。

解法二：数形结合（补形）

延长AC至E，使得AC=CE，连接BE，过C作CF//BE，过B作BG⊥CF，AH⊥BE，α=∠CAF，α∈0，π2

（1）由题意知D为等腰△ABE的重心，

AF=12AH=12·32AD=34AD=34kAC，cosα=AFAC

，∴cosα=34k，k∈0，43

（2）設AC=x，由三角形相似可知，BG=AF=xcosα，GC=3FC=3xsinα

∴BC=BG2+GC2=x2（cos2α+9sin2α），∵2S△AFC=12=12x2sin2αx2=1sin2α，∴BC=cos2α+9sin2αsin2α=cosα2sinα+9sinα2cosα，当且仅当3sinα=cosα时，BC取到最小值。此时k=43cosα=2510

在解三角形中，其实质上是对于几何问题的求解，在解题时试着回归到几何的性质上，对于题目的解决将会有很大的帮助，同时可以拓展学生思维，更好地理解题目的本质。

华罗庚先生曾经指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非。”数和形在内容上互相联系，在方法上互相渗透，互相转化，它们是高中数学的两块基石。同时数形结合是高中数学的一种重要思想方法。上述解法借助平面图形坐标化，实现了几何问题代数化，为该问题的解决又提供了新的解题思路，同时也开拓了思维，对于问题的理解更加深入。

对于这道题，还可以试着做如下推广：

在△ABC中，AB=αAC，AD是角A的角平分线，AD=kAC，问：

（1）α为何值时，k有最小值；

（2）若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短。（用α表示）。

作者简介：倪阿亮，浙江省温州市永嘉中学。endprint