浅谈数学中的反证法

李阳��

摘要：反证法是对题目中给出的已知条件予以肯定而否定的需证明结论，再利用否定后的结论和命题中的已知条件进行推理证明矛盾，进而来肯定原命题结论的正确性.本文的主要内容是先对反证法的原理、反证法的研究对象、反证法的例题级应用反证法应该注意的问题等作一简单阐述。

关键词：反证法；推理；数学

一、 反正法的原理阐释

从问题出发是数学学习的一个根本。数学学习的本质就是不断训练学生解决问题的能力。不论是从问题理解、问题说明和问题解决，数学教学都是围绕学生处理问题的方法展开的。反证法就是其中的一个案例。从原理上说，反证法从问题出发，找出问题的不相容命题，并不断推理不相容命题的等价命题，从等价命题之中找出与公理矛盾的地方，反证问题成立或者不成立。

二、 明确问题的对立面

应用反证法要明确问题的对立面：反证法所围绕的核心是问题，然而问题在哪里，是什么样的，必须准确给予划定。一般来说，问题往往十分清晰，只要看到结尾处即可明确问题的范围。然而，在实际教学甚至实际生活中，学生并不能清楚问题是什么。因此，在运用反证法这一原理时，首先需要为问题划定范围，将问题的逻辑明确化。对于反证法也是一样。反证法的基本原理是证明问题的对立命题是矛盾的。因此，在运用反证法时，必须要把握住问题的对立命题，为之划定范围，这样才能解决问题。

三、 反证法的应用

（一） 反证法的步骤

应用反证法时要正确假设，分清原命题的结论是什么。要正确推理，导出矛盾，肯定否命题正确，从而确定原命题。

可以总结出用反证法证题一般分为三个步骤：

1. 假设命题的结论不成立；

2. 從这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；

3. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

即提出假设——推出矛盾——肯定结论。

（二） 关于反证法的例题

下面将反证法应用到数学例子中。

例1过平面内一点并且过平面外一点的直线，和平面内不过这一点的直线是异面直线。

由已知：直线AB，点A平面α，点B∈α，直线a∈α不过点B。

求证：直线AB和a是异面直线。

证明：

[提出假设]直线AB和a不是异面直线。

[推出矛盾]它们同在经过点B和直线a的平面内，因为Ba，经过点B与直线a只有一个平面α，直线AB与a在平面α内，∴A∈α，这与Aα矛盾。

[肯定结论]∴直线AB和a是异面直线。

例2已知p3+q3=2，求证：p+q≤2。

分析：此题对结论的否定只有一种情况，p+q>2，应用反证法证明时只要针对这种情况给予否定，就可肯定p+q≤2成立。

证明：假设p+q>2，则q>2-p，

∴q3>8-12p+6p2-p3，

∴p3+q3>643-2p+p2=6（p-1）2+13，

∴p3+q3>2+6（p-1）2。

由此可知p3+q3≠2，这与已知矛盾，

∴p+q≤2。

四、 应用反证法应该注意什么

建立起下面几个概念：第一，两个命题互相矛盾的概念；第二，如果从前提出发，逻辑地推出矛盾，而且除了一个前提不是真的外，其他前提已知为真，那么必然是剩下不知真假的前提的假设不真；第三，如果一个论断的反面不成立，那么原论题成立。

应用反证法要明确哪些问题需要用反证法，哪些问题不必用到反证法。如果用到反证法要正确了解结论是什么，结论的否定命题是什么，从而对否定命题加以证明，得到与已知矛盾，进而得证。

五、 总结

反证法在教学中应用极为广泛，对思路引导作用也非常之大。如果能够在实际教学中多用反证法，用好反证法，对教学质量的提高必将产生实质影响。总之，反证法因其在数学问题解决过程中所具备的特殊地位，在具体的教学活动中，一定要引起学者的足够重视。

参考文献：

[1] 武宝元，赵辉.反证法证题释疑[J].中学数学教学参考，2000（11）.

[2] 朱延玲.浅谈反证法的教学[J].中学数学研究，2002（7）.

[3] 代钦.数学教学论[M].西安：陕西师范大学出版社，2009.

作者简介：李阳，吉林省长春市，吉林师范大学 数学学院。endprint